2019-2020年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案：第三讲 圆锥(3)

所以△BDE ∽△OCE ，所以∠EDB ＝∠OCE ，

因此O ，D ，B ，C 四点共圆．

(2)连接OB .因为∠OEC ＋∠OCB ＋∠COE ＝180°，结合(1)得∠OEC ＝180°－∠OCB －∠COE ＝180°－∠OBC －∠DBE

＝180°－∠OBC －(180°－∠DBC )

＝∠DBC －∠ODC ＝20°.

17．(新课标全国卷Ⅰ)(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE .

(1)证明：∠D ＝∠E;

(2)设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形． 证明：(1)由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆，

所以∠D ＝∠CBE .

由已知CB ＝CE 得∠CBE ＝∠E ，故∠D ＝∠E .

(2)设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB ＝MC 知MN ⊥BC ，故

O在直线MN上．

又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，

故OM⊥AD，即MN⊥AD.

所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.

又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.

由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．

18．(本小题满分14分)如图所示，已知P A与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.

(1)求证：∠P＝∠EDF；

(2)求证：CE·EB＝EF·EP；

(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求P A的长．

解：(1)证明：∵DE2＝EF·EC，

∴DE∶CE＝EF∶ED.

∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED.

∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.

∴∠P＝∠EDF.

(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，

∴△DEF∽△PEA.

∴DE∶PE＝EF∶EA.

即EF·EP＝DE·EA.

∵弦AD、BC相交于点E，

∴DE·EA＝CE·EB.

∴CE·EB＝EF·EP.

(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，

∴EC ＝9.∵CE ∶BE ＝3∶2，∴BE ＝6. ∵CE ·EB ＝EF ·EP ，

∴9×6＝4×EP .

解得：EP ＝272

. ∴PB ＝PE －BE ＝152，PC ＝PE ＋EC ＝452

. 由切割线定理得：P A 2＝PB ·PC ，

∴P A 2＝152×452.∴P A ＝152 3.