2019-2020年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案：第三讲 圆锥(2)

O 1C ⊥OA ，故∠OO 1C ＝∠AOD ，且O 1C ＝OD ＝6，

所以Rt △OO 1C ≌Rt △AOD ，则AO ＝O 1O .

故AB ＝2AO ＝2O 1O ＝O 1O 2＝13.

显然AB 即为椭圆的长轴，所以AB ＝13.

答案：13

三、解答题

8．△ABC 是边长为2的正三角形，BC ∥平面α，A 、B 、C 在α

的同侧，它们在α内的射影分别为A ′、B ′、C ′，若△A ′B ′C ′

为直角三角形，BC 与α间的距离为5，求A 到α的距离．

解：由条件可知A ′B ′＝A ′C ′，

∴∠B ′A ′C ′＝90°.

设AA ′＝x ，在直角梯形AA ′C ′C 中，

A ′C ′2＝4－(5－x )2，

由A ′B ′2＋A ′C ′2＝B ′C ′2，

得2×[4－(x －5)2]＝4，x ＝5±2.

即A 到α的距离为5±2.

9．若圆柱的一正截面的截线为以3为半径的圆，圆柱的斜截面与轴线成60°，求截线椭圆的两个焦点间的距离．

解：设椭圆长半轴为a ，短半轴为b ，半焦距为c ，

则b ＝3，

a ＝

b cos 60°

＝3×2＝6， ∴c 2＝a 2－b 2＝62－33＝27.

∴两焦点间距离2c ＝227＝6 3.

10.如图所示，圆锥侧面展开图扇形的中心角为2π，AB 、CD 是圆锥

面的正截面上互相垂直的两条直径，过CD 和母线VB 的中点E 作一截面，

求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么圆锥曲线？

解：设⊙O 的半径为R ，母线VA ＝l ，

则侧面展开图的中心角为2πR l ＝2π， ∴圆锥的半顶角α＝π4

. 连接OE ，∵O 、E 分别是AB 、VB 的中点，

∴OE ∥VA ，

∴∠VOE ＝∠AVO ＝π4.

又∵AB ⊥CD ，VO ⊥CD ，

∴CD ⊥平面VAB .

∴平面CDE ⊥平面VAB .

即平面VAB 为截面CDE 的轴面，

∴∠VOE 为截面与轴线所夹的角，即为π4

. 又∵圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，

故截面CDE 与圆锥的截线为一抛物线．

模块综合检测

[对应学生用书P45]

(时间：90分钟，满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，该图中只有x 个三角形与△

ABC 相似，则x 的值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：由题所给图形为射影定理的基本图形，△ACD 、△BCD 均与△ABC 相似． 答案：B

2．已知：如图，?ABCD 中，EF ∥AC 交AD 、DC 于E 、F ，AD ，BF 的延长线交于M ，则下列等式成立的是( )

A ．AD 2＝AE ·AM

B ．AD 2＝CF ·DC

C ．A

D 2＝BC ·AB

D ．AD 2＝A

E ·ED

解析：∵在?ABCD 中，

∴AD ∥BC ，AB ∥DC .

∵DF∥AB，∴AD

AM＝BF

BM.

∵DM∥BC，∴BF

BM＝CF DC.

∵EF∥AC，∴AE

AD＝CF DC.

∴AD

AM＝AE

AD，∴AD

2＝AE·AM.

答案：A

3．对于半径为4的圆在平面上的投影的说法错误的是()

A．射影为线段时，线段的长为8

B．射影为椭圆时，椭圆的短轴可能为8

C．射影为椭圆时，椭圆的长轴可能为8

D．射影为圆时，圆的直径可能为4

解析：由平行投影的性质易知射影为圆时，直径为8.

答案：D

4．如图，用平面去截圆锥，所得截面的形状是()

解析：用平面去截圆锥，如题图：平面与圆锥的侧面截得一条弧线，与底面截得一条线段，所以截面的形状应该是D.

答案：D

5．如图，P A，PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P＝50°，

则∠BOC的度数为()

A．50°B．25°

C．40°D．60°

解析：因为P A，PB是⊙O的切线，

所以∠OAP＝∠OBP＝90°，

而∠P＝50°，

所以∠AOB＝360°－90°－90°－50°＝130°，

又因为AC是⊙O的直径，

所以∠BOC＝180°－130°＝50°.

答案：A

6.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线

PC与AB的延长线交于点P，那么∠P等于()

A．15°B．20°

C．25°D．30°

解析：∵OA＝OC，∴∠A＝∠1，

∴∠POC＝2∠A＝70°.

∵OC⊥PC，∴∠P＝90°－∠POC＝20°.

答案：B

7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的

切线互相垂直，垂足为D，∠DAB＝80°，则∠ACO等于() A．30°B．35°

C．40°D．45°

解析：∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD.

又∵AD⊥CD，∴OC∥AD，

由此得∠ACO＝∠CAD.

∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，

∴∠CAD＝∠CAO.

故AC平分∠DAB，∴∠CAO＝40°.

又∠ACO＝∠CAO，∴∠ACO＝40°.

答案：C

8.(天津高考)如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆

于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·F A；③AE·CE ＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.

则所有正确结论的序号是()

A．①②B．③④

C ．①②③

D ．①②④

解析：因为∠BAD ＝∠FBD ，∠DBC ＝∠DAC ，

又AE 平分∠BAC ，即∠BAD ＝∠DAC ，

所以∠FBD ＝∠DBC ，

所以BD 平分∠CBF ，结论①正确；

易证△ABF ∽△BDF ，所以AB AF ＝BD BF

， 所以AB ·BF ＝AF ·BD ，结论④正确；

由切割线定理，得BF 2＝AF ·DF ，结论②正确；由相交弦定理，得AE ·DE ＝BE ·CE ，结论③错误．选D.

答案：D

9．如图，P 为圆外一点，P A 切圆于点A ，P A ＝8，直线PCB 交圆

于C ，B 两点，且PC ＝4， AD ⊥BC ，垂足为点D ，∠ABC ＝α，∠ACB

＝β，连接AB ，AC ，则sin αsin β

等于( ) A.14

B.12 C ．2

D ．4 解析：由P A 2＝PC ·PB ，

有64＝4PB ，∴PB ＝16.

又∠ABC ＝α，∠ACB ＝β，AD ⊥BC ，

∴AB ＝AD sin α，AC ＝AD sin β

. 在△P AB 和△PCA 中，∠B ＝∠P AC ，∠P 为公共角，

∴△P AB ∽△PCA .

∴AC AB ＝AP BP ，即AD

sin βAD sin α

＝816.∴sin αsin β＝12

. 答案：B

10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件：

①∠B ＋∠DAC ＝90°，②∠B ＝∠DAC ，③CD AD ＝AC AB ，④AB 2＝BD ·BC .

其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有( )

A ．3个

B ．2个

C ．1个

D ．0个

解析：验证法：①不能判定△ABC 为直角三角形，因为∠B ＋∠DAC ＝90°，而∠B ＋∠DAB ＝90°，则∠BAD ＝∠DAC ，同理∠B ＝∠C ，不能判定∠BAD ＋∠DAC 等于90°；而②中∠B ＝∠DAC ，∠C 为公共角，则△ABC ∽△DAC ，又△DAC 为直角三角形，所以△ABC 为直角三角形；在③中，由CD AD ＝AC AB

可得△ACD ∽△BAD ，则∠BAD ＝∠C ，∠B ＝∠DAC ，所以∠BAD ＋∠DAC ＝90
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