2019-2020年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案：第三讲 圆锥

2019-2020年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案：第三讲圆锥曲线性质的探讨Word

版含答案

1．正射影的概念

给定一个平面α，从一点A作平面α的垂线，垂足为点A′，称点A′为点A在平面α上的正射影．

一个图形上点A′所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影．

2．平行射影

设直线l与平面α相交，称直线l的方向为投影方向，过点A作平行于l的直线(称为投影线)必交α于一点A′，称点A′为A沿l的方向在平面α上的平行射影．一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影．3．正射影与平行射影的联系与区别

正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的．因此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂直．而平行射影的投影光线与投影面斜交．平面图形的正射影与原投影面积大小相等．而一般平行射影的面积要小于原投影图形的面积．4．两个定理

(1)定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．

(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l 旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l 平行时，记β＝0)，则

①β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆．

②β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线．

③β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线．

[对应学生用书P37]

[例1]()

A．椭圆B．圆

C．线段D．射线

[思路点拨]要确定椭圆在投影面上的平行射影，关键看投影面与椭圆所在平面的位置关系．

[解析]因为椭圆所在平面与投影面平行，所以椭圆的平行射影无论投射线的方向如何，始终保持与原图形全等．

[答案] A

平面图形可以看作点的集合，找到平面图形中关键点的正射影，就可找到平面图形正射影的轮廓，从而确定平面图形的正射影．

1．下列说法正确的是()

A．平行射影是正射影

B．正射影是平行射影

C．同一个图形的平行射影和正射影相同

D．圆的平行射影不可能是圆

解析：正射影是平行射影的特例，则选项A不正确，选项B正确；对同一个图形，当投影线垂直于投影面时，其平行射影就是正射影，否则不相同，则选项C不正确；当投影线垂直于投影面，且圆面平行于投影面时，圆的平行射影是圆，则选项D不正确．答案：B

2．梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在α内，则它在α上的射影是____________．解析：如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向，则梯形ABCD在α上的射影是一条线段．

如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向，则平行线的射影仍是平行线，不平行的线的射影仍不平行，则梯形ABCD在平面α上的射影仍是梯形．

答案：一条线段或梯形

3．已知△ABC的边BC在平面α内，A在平面α上的射影为A′(A′不在BC上)．

(1)当∠BAC ＝90°时，求证：△A ′BC 为钝角三角形；

(2)当∠BAC ＝60°时，AB 、AC 与平面α所成的角分别是30°和45°时，求cos ∠BA ′C . 解：(1)证明：∵AB >A ′B ，AC >A ′C ，

∴A ′B 2＋A ′C 2<AB 2＋AC 2＝BC 2.

∴cos ∠BA ′C ＝A ′B 2＋A ′C 2－BC 2

2A ′B ·A ′C

<0. ∴∠BA ′C 为钝角．∴△A ′BC 为钝角三角形．

(2)由题意，∠ABA ′＝30°，∠ACA ′＝45°.

设AA ′＝1，则A ′B ＝3，A ′C ＝1，AC ＝2，AB ＝2，

∴BC ＝

AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝ 6－22，

cos ∠BA ′C ＝A ′B 2＋A ′C 2－BC 22A ′B ·A ′C ＝6－33.

[例2] 如图，在圆柱O

1O 2内嵌入双球，使它们与圆柱面相切，切线分别

为⊙O 1和⊙O 2，并且和圆柱的斜截面相切，切点分别为F 1、F 2.

求证：斜截面与圆柱面的截线是以F 1、F 2为焦点的椭圆．

[思路点拨] 证明曲线的形状是椭圆，利用椭圆的定义(平面上到两个定点

的距离之和等于定长的点的轨迹)来证明．

[证明] 如图，设点P 为曲线上任一点，连接PF 1、PF 2，则PF 1、PF 2分别

是两个球面的切线，切点为F 1、F 2，过P 作母线，与两球面分别相交于K 1、K 2，则PK 1、PK 2分别是两球面的切线，切点为K 1、K 2.

根据切线长定理的空间推广 ，

知PF 1＝PK 1，PF 2＝PK 2，

所以PF 1＋PF 2＝PK 1＋PK 2＝K 1K 2.

由于K 1K 2为定值，故点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的椭圆．

(1)证明平面与圆柱面的截线是椭圆，利用Dandelin 双球确定椭圆的焦点，然后利用椭圆的定义判定曲线的形状．

(2)该题使用了切线长定理的空间推广 (从球外一点引球的切线，切线长都相等)．

4．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴为6，则圆柱面的半径为________．

解析：由2a ＝6，即a ＝3，又e ＝cos 45°＝

22， 故b ＝c ＝ea ＝

22×3＝322

，即为圆柱面的半径． 答案：322

5．已知一平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为一半径为2的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴、短轴和离心率．

解：由题意可知椭圆的短轴为2b ＝2×2，

∴短轴长为4.

设长轴长为2a ，则有2b 2a ＝sin 30°＝12

， ∴2a ＝4b ＝8.e ＝c a ＝32

. ∴长轴长为8，短轴长为4，离心率为32

.

[例3]

[思路点拨] 本题直接证明，难度较大，故可仿照定理1的方法证明，即Dandelin 双球法．

[证明] 如图，在圆锥内部嵌入Dandelin 双球，一个位于平

面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均

相切．

当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一

个封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F 1、F 2，与圆锥

相切于圆S 1、S 2.

在截面的曲线上任取一点P ，连接PF 1、PF 2.过P 作母线交S 1于Q 1，交S 2于Q 2，于是PF 1和PQ 1是从P 到上方球的两条切线，因此PF 1＝PQ 1.同理，PF 2＝PQ 2.

所以PF 1＋PF 2＝PQ 1＋PQ 2＝Q 1Q 2.

由正圆锥的对称性，Q 1Q 2的长度等于两圆S 1、S 2所在平行平面间的母线段的长度而与P 的位置无关，由此我们可知在β>α时，平面π与圆锥的交线为一个椭圆．

由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓展为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采用Dandelin 双球法，这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使问题得到解决．

6．圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为30°，则截线是( )

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

解析：由α＝50°2

＝25°，φ＝30°，φ>α， ∴截线是椭圆．

答案：B

7．如图，已知平面π与圆锥的轴的夹角为β，圆锥母线与轴的夹角为α，α＝β，求证：平面π与圆锥的交线为抛物线．

证明：当β＝α时，平面与圆锥的一部分相交，且曲线不闭合．在圆锥内嵌入一个Dandelin 球与圆锥交线为圆S .记圆S 所在平面为π′，π与π′的交线记为m .球切π于F 1点．

在截口上任取一点P ，过P 作P A ⊥m 于A ，过P 作PB ⊥平面π …… 此处隐藏：2988字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……