2.推理与证明复习小结

第二

章推与证理明复习小

结知

结识构情推合 推理理推 理 证与明 证 明接间证 明演推绎 比较法

归纳推理理 比推理类

直证明接综合法分 法 析证法反数学归纳

一.法合情推理演绎推与理 ① 纳是由特殊到归一般推理; 的②类是比特殊到特殊由的推理; ③演推绎是理一般到由特殊推理.的 从推理结的来论看,合推情的理结 论不定正确一有,证待;明演推绎理得到的 论结定正一确(前提为真). “全完归纳推理”“归与纳推理” 的别

区

3.

方一：法差叠累加法4.

.二综合法例.已a、知bc 为 不相、正数等 ，ab且 = c1 1, 1 证1求 ： + b + ca< + . a b +c 11 1∴+ + = c +bca + aba bc

证 法1:∵ 、a、c 为 b相不正 等 ，数且bca= ,

b1 c+c a ac+ ab a b+bc = + + 2 2>2abc + 2 a 2c b+a b2c =a + +bc.

1 11 ∴a +b +c < ++ 成. 立 ba c

.例已a、b、c知为 不等相数正 ，ab且 = c, 1 1 1 1求 证a +:b +c < ++ a b.c

法证:2∵a 、、bc不为相等正数 且，ac = b1,1 11 ∴ +a b+ c + + b= cc aba1 1 111 1 + + +<b c + c+aab 222

1 1 1 = ++ . a bc 1 1 1 ∴a +b + c < ++成立. a b c

三.析分例：已法a知 5,求> : 证

a- 5-

明证: a-5 a -3 -< a- 2- a证 只需证 a要- 5 a a < 2 - +a - 3只需 证aa ( -)5 (< a- )2a - ()3只需 证a ( a5-)(< - a2)a -3( )只证需 0<6 0 <6成立. 因 为所以 a - 5-a - <3a - 2-a 成立.

a3 <-a- -2

.a

四

:证法反适范用围1.2 3.. 4. 唯性一题问 命题中涉及量的问词题 结论否定型题 难问以判、计算、断证明或的题

练习问1.

例2证.明2 不 有是数。p理 明证假：定2 是有理 ，则数设可 2 ,

其中p,q为q互的正整数，质2q=p2,2① 式表①明2p是偶，数所以也p是偶，于 数令p是=2l,是正整数l代入①,式，得q 2=2l2,② 样这，pq都有因数公2,与p这q,互矛质盾， 此因 是有2理数不立，于成是 2 是无理数.

例3、0 <设a, b, c< 1,求 ：(1证 a) b, 1(1 b ),c 1( )ac不,可同能时大 于41 1 明证假：设1 ( ab)> , ( 1 bc > ),4 411 ( )a c>4

,

三式相乘则1 :(1 a ) (b1 )bc(1 c a )> 46①

∵0 又 <,a ,bc < 1 1 (1 a) a所 以 0 1 ( a)a 4 2 1 1 同：(1理 b b) 1 ( c) c 4 42

上以三式乘相 (1 :)aa(1 b)b 1( c )≤c∴ 原成式立1。 与①盾矛 46

.数学归五法1纳 ..2 .3 4.5 证.“恒等明” 式证明“几问何”题 明证“等式” 不证明整除问题” 证明““猜类问题”想

例1用.学数归法纳证：明 4 1 2 7 3 10 n(n 3 )1 n (n 1 )

2明证：(1当n=)1时，边左4,右边==4 ,因为边左右=,所以等边式是立的；成(2)假设当=kn

时，等成式，即立 4 12 7 3 0 1 k (3 k ) 1 (kk )1

1 24 2 7 103 k3k( 1) k( 1 )[3k( ) 11 ] k (k 1)2 (k 1)(3k 4)

(k 1) k ( 2k 3 k4) k( 1 () k2 )2就这是说，n当k+=时，等1式成也， 立由()和1()2以断定，可式对等何 n任N+都∈成立

。例2