【优化习题】高中数学第二单元指数函数、对数函数、幂函数单元测

【优化习题】高中数学第二单元指数函数、对数函数、幂函数单元测试

第二单元 指数函数、对数函数、幂函数

A 卷

本试卷满分：100分；考试时间：90分钟

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）

l.设指数函数C1：y=ax，C2：y=bx，C3：y=cx的图象如图，则（ ） A．0<c<1<b<a B．0<a<1<b<c C．c<b<a D．0<c<1<a<b

2.函数y=a（a>0，a≠1）过定点，则这个定点是（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（-1，0.5） D．（1，1）

x-1

3.若函数y=f（x）的图象与y=2的图象关于y轴对称，则f（3）=（ ） A．8

B．4

C．

18

-x

D．

1412

4.若指数函数y=ax经过点（-1，3），则a等于（ ） A．3

B．

13

C．2 D．

5.函数y=f（x）的图象与y=21-x的图象关于直线x=1对称，则f（x）为（ ） A．y=2x-1 B．y=2x+1

x-2

C．y=2 D．y=22-x

6.对于 x1，x2∈R（注： 表示“任意”），恒有f（x1）·f（x2）=f（x1+x2）成立，且f（1）=2，则f（6）=（ ） A．22

B．4

C．2

D．8

7.若函数f（x）=logax（0<a<1）在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a=（ ） A．

14

B．

12

C．

22

D．

24

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8.在同一坐标系中，函数y=2与y=log2x的图象是（ ）

-x

2 x 1(x 0),

9.设函数f(x) 1若f（x0）>1，则x0的取值范围是（ ）

2 x(x 0).

A．（-1，1）

B．（-∞，-2）∪（0，+∞）

C．（-1，+∞）

D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

10.已知0<m<n<1，则a=logm（m+1）与b=logn（n+1）的大小关系是（ ） A．a>b B．a=bf C．a<b D．不能确定

答案：1．A 2．D 3．A 4．B 5．A 6．D 7．D 8．A 9．D 10．A

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 11.已知对数函数C1：y=logax，C2：y=logbx，如图所示，则a、b的大小是__________．

答案：a>b>1 12.函数y 答案：{x|

34

log

0.5

(4x 3)的定义域是__________．

<x≤}

13

16

13.已知集合M={x∈R+|y=log3x-

log1x，y∈Z}，若a∈M，则a的值可以是__________．

3

答案：9n（n∈Z）

14.溶液的酸碱度是通过pH刻画的．pH的计算公式为pH=-lg[H+]，[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是mol／L．某溶液的氢离子的浓度为2-10mol／L，则该溶液的pH值为（1g 2≈0.3） __________. 答案：3

三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤）

15.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000 m，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=

12

O100

log3（m／s），其中O表示鱼的耗氧量的单位数．

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（1）在给定的坐标系中描出函数图象，并求一条鱼静止时耗氧量的单位数； （2）当一条鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是多少

?

答案：（1）图象如图所示，当O=100时，v=0 （2）当O=8 100时，v=2（m／s）

16.当某种药品注射到人体内，它在血液中的残留量成指数型函数衰减．

（1）药品A在血液中的残留量可以用以下指数型函数描述：y=5e，其中，t是注射一剂药A后的时间（单位：h），y是药品A在人体内的残留量（单位：mg）．描出这个函数图象，求出y的初始值，当t=20时，y值是多少?

（2）另一种药品B在人体中的残留量可以表示成y=5e-0.5t．与药品A相比，它在人体内衰减得慢还是快? 答案：（1）当t=0时，y=5；当t=20时，y=5e-4≈0.091 6 （2）y15e

-0.2t

-0.2t

，y2=5e

-0.5t

,∴

y1y2

e

0.3t

1∴y1>y2,则药品B在人体内衰减得快

17.已知函数f（x）=loga

1 mxx 1

（a>0，a≠1）是奇函数．

（1）求m的值；

（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性． 答案：（1）∵f（x）为奇函数, ∴loga（2）∵f（x）=loga

x 1x 1

1 mx x 1

=-loga

1 mxx 1

（对 x∈R恒成立） m=-1

2x 1

（x<-1或x>1），∴f（x）=loga（1+），∴（i）当0<a<1时，

f（x）在（1,+∞）上是增函数；（ii）当a>1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数

18.已知定义在R上的奇函数f（x），当x∈（-1，0）时，f（x）=（1）求f（x）在（-1，1）上的表达式； （2）证明f（x）在（-1，0）上是增函数．

x

2

,0 x 1, x

1 4

答案：1（1）f(x) 0,x 0,

x

2 , 1 x 0x 4 1

2

x

x

4 1

.

（2）设-1<x1<x2<0，则f（x1）-f（x2）=

(2

x1 x2

1)(2 1)(4

x2x2

21) 1)

x

(4

x1

,∵ x1<x2<0，∴2

x1 x2

1 0，

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2

x2

2

x1

，所以，f（x）在（-1，0）上是增 0，∴f（x1）-f（x2）<0，即f（x1）<f（x2）

函数

19.已知f（x）是定义在（-1，1）的函数，并且满足下列条件：①对 x1，x2∈（-1，1）都有f（x1）+f（x2）=f(

x1 x21 x1x2

)成立；②当x∈（-1，0）时，f（x）>0.请回答下列问题：

（1）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由； （2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并说明理由． 答案：（1）∵对 x1,x2∈（-1，1）时，f（x1）+f（x2）=f(

x1 x21 x1x2

)都成立, ∴令x1=x2=0，

得f（0）=0，∴对于 x∈（-1，1），f（x）+f（-x）=f(

x－x1 x

2

)=0，所以对于 x∈（-1，

1），有f（-x）=-f（x），所以f（x）在（-1，1）上是奇函数 （2）设0<x1<x2<1，（x1）f-f（x2）=f(

x1 x21 x1x2

)，因0<x1<x2<1，∴x1-x2<0，1-x1x2>0，∴-1<

x1 x21 x1x2

<0，则f（x1）>f（x2），∴f（x）在（0，1）上是减函数