§10.2第二型曲线积分1

§10.1 向量场10.1.1 向量场的概念一、场的概念某种物理量在空间(平面)区域内分布称为“场” 。

二、场的分类

例如，温度在空间区域内的分布就是温度场。 1.数量场和向量场 电场强度在空间区域内的分布就是电场。 按照某种物理量是数量或是向量，将其场称为数量场或向量场。2.稳定场和非稳定场例如::温度场、气压场都是数量场； 速度场、引力场都是向量场。

如果场中的物理量仅随位置变化，而不随时间变化，这种

场称为稳定场(或定常场) ,如果是随时间变化的，则称为 非稳定场(或非定常场) 。

三、场的表示场量在区域(场域)内的分布可以用定义在该区域内的 一个函数来描述，给定了一个函数(场函数) ,就相当于给 定了一个场。数量场： u(M ) u( x, y, z), M ( x, y, z) 向量场： A(M ) A( x, y, z) P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) ,M ( x, y, z) .

例如，位于原点且电量 为 q 的点电荷产生的静电场 为 E ( x, y , z ) 3r 4 0 r q q2 2 2

{xi yj zk ). 3

4 0 ( x y z ) 2

(其中 0 是真空中的介电常数.)

10.1.2 向量线若在域 中，函数 P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) 连续，则称 1.数量场的等值面(或等值线) 向量场 A 或向量值函数 A( x, y , z ) P ( x, y , z ), Q ( x, y , z ), R ( x, y , z ) 数量场的常用直观表示法是等值面(或等值线) 。例如在 是连续的。 地形图上常用等高线表示地形高度。又如在气象中常用等温线表示温度场。 8 4 0 4 8 12

80

70

60 50

等高线

等温线

若平面数量场为 v v ( x, y ) ,则v ( x, y ) C 称为等值线。

例如:

2 2 2 2 平面数量场v x y 的等值线为 x y C , 这是一组同心圆。

若空间数量场为u u ( x, y , z ) ,则u ( x, y , z ) C 称为等值面。

例如: 空间数量场u x y z 的等值面为 x y z C , 这是一组平行平面。2.向量场的向量线通常用向量线直观地表示向量场。

C在 该点 定义 若曲线C上 每一点处，向量场的向量都位于

的切线上，则曲线C称 为这个向量场的向量线。

比如静电场中的电力线， 磁场中的磁力线，流速场 中的流线都是向量线。向量场的向量线

C

下面来导出向量线的方程。 设向量场为 A(M ) A( x, y, z ) P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )M ( x, y, z ) 为向量线C上 的任一点，

则向量线C在 点 M 的切线向量为{dx, dy, dz} , 它必与在点 M 的场向量 A P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) 共线，

dx dy dz 故有 , P( x, y, z ) Q( x, y, z ) R( x, y, z )解此微分方程组可得向量线的方程。

例.

求静力场 E 解： P ( x, y, z )

q 4 r

r 的向量线。 3xq

4 0 Q ( x, y , z ) 4 0 R ( x, y , z ) 4 0

3 (x 2 y 2 z 2 ) 2

,

yq3 (x2 y 2 z 2 ) 2

,

zq3 (x2 y 2 z 2 ) 2

dx dy dz dx dy dz 由 得 , P( x, y, z ) Q( x, y, z ) R( x, y, z ) x y z

y C1 x 解此方程组得 ,它表示过原点(0, 0, 0) ,方向向量 z C2 x

{1, C1 , C2 } 是任意的直线族。这些线称为电力线。

z

o x点电荷所产生的静电场的向量线

y

§10.2 第二型曲线积分 10.2 .1 第二型曲线积分的概念 一、引例：变力沿曲线所作的功 F 连续。一质点在力场 设有一空间力场 F F ( x, y , z ) , C 从A点 移到B点 ，求力场 F 的作用下，沿空间光滑曲线 B An Z F 所作的功W 。A2 Ai 1 Ai

A1 A A

Mi

x

o

y

C 任意 分割： 任取点列 A , A1 , A2 , An 1 , An ,把曲线段

⌒ ⌒ A A ( i 1 , 2 , , n ) A i 段 弧i 1 Ai 分成 n个 有向小弧段 i 1 i ,第的长度记为 si 。

⌒ Ai 1 曲线C 从点 近似： M i ( i , i , i ) Ai 1 Ai ,则质点沿 移动到 Ai 时，力场 F 所作 的功

Wi Fi [ si Ti ] F ( i , i , i ) [ si Ti ( i , i , i )]

曲线C 的单位 其中 Ti T ( i , i , i ) 是质点在点M i 处沿

切线向量。

求和：力场F 所作的功的近似值为 W Wi F ( i , i , i ) [ si Ti ( i , i , i )] ,i 1 i 1 n n

F 所作的功为 取极限：令 d max{ si } ,则力场1 i n

W lim F ( i , i , i ) [ si Ti ( i , i , i )] 。d 0 i 1

n

二、第二型曲线积分的定义 设 C是 向量场 A( x, y , z ) 所在空间中一条以A为起点 ，B为

终点的有向光滑曲线弧。用分点 A A , A1 , A2 , An 1 , An B ,

⌒ ⌒ A A ( i 1 , 2 , , n ) A C i 1 i i 1 n 个 把 任意分成 有向小弧段 ， Aii 1 Ai , 的长度记为 si ,令 d max{ si } , M i ( i , i , i ) A⌒

1 i n

作和式 A( i , i , i ) Ti ( i , i , i ) si ,其中Ti T ( i , i , i )n i 1

Mi C 是 上点 处相应于所给方向的单位切线向量。

如果当 d 0 时，和式的极限存在，且极限值与C的分法 及点 M i的选法 无关，则称此极限为向量值函数(或向量 场) A( x, y , z ) 沿有向曲线C的 第二型曲线积分，记作

A ( x, y, z) T ( x, y, z)ds ,即C

n A( x, y, z) T ( x, y, z)ds lim A( i , i , i ) Ti ( i , i , i ) siC d 0i 1

引例中力场 F 所作 的功可以表示为

W

C

F ( x,

y, z ) T ( x, y, z )ds 。

设向量值函数 A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k , ∵T 1 (dx ) (dy ) (dz )2 2 2

{dx, dy , dz}

1 {dx, dy , dz} , ds

∴ A Tds A {dx, dy, dz} Pdx Qdy Rdz 。∴第二型曲线积分也可记作

C P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz ,上式是第二型曲线积分的坐标形式，因此第二型曲线积分 也叫做对坐标的曲线积分。

通常将Tds 记为ds ,即ds {dx, dy, dz} ,ds 称为弧长向量微元。

则第二型曲线积分的向量形式为

C

A ds 。

若C 为平面有向光滑曲线弧，向量值函数 A( x, y ) P ( x, y )i Q ( x, y ) j ,则有 CA ds C P ( x, y )dx Q ( x, y )dy 。

三、第二型曲线积分的性质 设 A A( x, y, z) ,B B( x, y, z) ,则 (1) ( A B) ds A ds B ds ;C C C

( , 为常数) (2) A ds A ds A ds ;C C1 C2

(线性性质)

其中C C1 C2 ,C1与C2首尾相接(3) C

(对积分弧段的可加性)

A ds A ds 。C

其中C 是与C反方向的有向曲线弧。 (方向性)

10.2.2 第二型曲线积分的计算定理 设有向光滑曲线弧 C 的参数方程为 x x(t ) , y y(t ) ,z z (t ) ,曲线 C 的起点 A 对应 t ,终点 B 对应 t ,当

t 单调地由 变到 时，动点 M ( x, y, z ) 描出由点 A 到点 B 的曲线弧 C 。

又设向量值函数 A( x, y, z) …… 此处隐藏：2697字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……