弹性力学简明教程 第四版 徐芝纶第三章

弹性力学简明教程 第四版 徐芝纶

第一节 第二节

逆解法与半逆解法 矩形梁的纯弯曲

多项式解答

第三节

第四节

位移分量的求出

简支梁受均布荷载

第五节

例题

楔形体受重力和液体压力

习题的提示与答案 教学参考资料

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第三章 平面问题的直角坐标解答

按

Φ 求解

§3－1 逆解法和半逆解法 多项式解答

1. 当体力为常量，按应力函数 Φ 求解平面 应力问题时，Φ 应满足 ⑴ A内相容方程 Φ 0. ⑵ S = S 上应力边界条件,

4

(a)

(b)

l

x

m yx s f x ,

m

y

l xy s f y .

⑶ 多连体中的位移单值条件。

(c)

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第三章 平面问题的直角坐标解答

对于单连体，(c)通常是自然满足的。 只须满足(a),(b)。 由 Φ 求应力的公式是

2Φ f x, σx 2 x y

2Φ f y, σy 2 y x 2 τ xy Φ . x y

(d)

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第三章 平面问题的直角坐标解答

逆解法

2 .逆解法 ── 先满足(a),再满足(b)。 步骤:

⑴ 先找出满足 4Φ 0 的解 Φ; ⑵ 代入(d), 求出 σ x , σ y , xy ; ⑶ 在给定边界形状S下，由式(b)反推出 各边界上的面力，

f x (lσ x mτ xy ) s , f y (mσ y lτ xy ) s .

(e)

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第三章 平面问题的直角坐标解答

逆解法

从而得出，在面力(e)作用下的解

答，就是上述 Φ 和应力。

逆解法没有针对性，但可以积累基

本解答。

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第三章 平面问题的直角坐标解答

逆解法

例1 一次式 Φ =ax+by+c,对应于无体力， 无面力，无应力状态。 故应力函数中加减一次式，不影响应力。 2 例2 二次式 Φ ax2 bxy cy，分别表示常量 的应力和边界面力。如图示。

2a b b

o

2a

x

b

o

y b

x

2c

o

y

2c

x

y

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第三章 平面问题的直角坐标解答

逆解法

例3 设图中所示的矩形长梁，l >>h，试考 F 察应力函数 Φ 3 xy(3h 2 4 y 2 )能解决什么 样的受力问题？

2h

o

h/2

h/2

x ( l >>h)

y

l

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第三章 平面问题的直角坐标解答

解：按逆解法。 1. 将 Φ 代入相容方程，可见 4Φ 0 是满足的。Φ 有可能成为该问题的解。 2. 由 Φ 求出应力分量,

2Φ 12 Fxy , σx 2 y h3 2Φ 0, σy 2 x y2 xy Φ 3F (1 4 2 ). x y 2h h

2

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第三章 平面问题的直角坐标解答

3. 由边界形状和应力分量反推边界上的 面力。 在主要边界（大边界）y h / 2 上，

σ y 0,

yx 0 。

因此，在 y h / 2 的边界面上，无任何 面力作用，即 f x f y 0

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第三章 平面问题的直角坐标解答

在x = 0，l的次要边界（小边界）上，

x 0(负x面),

f x (σ x ) x 0 0,

2

3F y f y ( xy ) x 0 (1 4 2 ); 2h h 12 Fl x l (正x面), f x (σ x ) x l 3 y, h 2 3F y f y ( xy ) x l (1 4 2 ). 2h h

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第三章

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