高中数学空间向量与立体几何

空间向量与立体几何

一、我所理解的教材的安排思路与想法

从知识上 从思想上 从方法上

从教材的例题编排和选取上

空间向量引入立体几何的必要性 1．简便 1)等角定理

2)直线与平面垂直的判定定理

2. 改善传统方法比较繁琐的证明和计算

例1. 四棱锥S ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC 底面ABCD．已知∠ABC 45，AB 2

，BC

SA SB (Ⅰ) 证明SA BC；

(Ⅱ) 求直线SD与平面SAB

所成角的大小．( )

13

3

2

2

22

M

2

2

B

D

3．必要的工具

A

例2.三棱锥O ABC中，OA 8，AB 6，BC 5，AC 4， OAB 60，

OAC 45 ，求异面直线OA与BC成角。( ).

4. 弥补空间想象能力的不足

例3. 如图，下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l 面MNP的图形的序号是 。（写出所有符合要求的图形序号）//①④⑤

① ② ③ ④ ⑤

1

1

1

1

1

AAAA

AAAA第 1 页 共 6 页

二、我校的教学思路

1．预习填表

2．空间向量的计算：字母与坐标 3．空间向量在证明中的应用 4．空间向量在计算中的应用 5．综合练习

具体内容: L1填表

L2空间向量的运算

//空间向量的字母运算

1. 平行六面体ABCD A B C D , E为上底面A B C D 的中心

(1) 化简: ①

1

② '

2

(2) 若 a, b, AA1 c, 用a,b,c表示:

① ; ② (3) 若AB = 2, BC = 2, AA = 4, 且 BAD = 90 , A1AD = A1AB计算: ' BC'

2. 四面体ABCD中, M、N为AB、CD的中点,

1

(1) 求证:

2

(2) 回答: ① 、AD、共面吗? ② MN、AD、BC共面吗?

③ 若在平面BCD上有一点P， 2 3 x，则x=？

1

④若AK (AB AC AD)，则K、A、B、C是否共面？

3

(3) 化简: BM AB MN CN = ?

(4) G是靠近M的一个三等分点，令 a, b, c, 请用a,b,c表示: ①AG; ② MG

(5) 若四面体ABCD为正四面体, 且棱长为1, 计算: MN CE

//空间向量的坐标运算

3. 已知: a 1,1,0 , b 0,1,1 , c 1,0,1

(1) 若p a b, q a 2b c, 计算: p q

a(2) 求, b确定的平面一个法向量n

(3) 求角: a,c

(4) a在c上投影的数量

(5) 判断,,是否共面

(6)若r xa yb 3c，q a 2b c，且r//q，求x，y

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L3空间向量在立体几何证明中的应用

1. (教材P83例1改)已知斜三棱柱ABC A'B'C' ，M、N分别是AC' 和BC 边上的点，且满足：AM kAC',BN kBC,(0 k 1) ，求证：MN //平面ABB'A' .

A

B

方法1：传统方法 方法2：向量法

2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．

3. 已知：直三棱柱ABC-A1B1C1中， AA1=2AB=2AC， BAC=90 ，D 为棱BB1的中点．求证：平面A1DC⊥平面ADC．

B

L4 空间向量在立体几何计算中的应用

1. 在正四面体A—BCD中，E、F分别为AB、AC的中点，设棱长为1. 求： (1)异面直线CE和DF所成的角的余弦值； (2)直线CE与平面ABD所成的角的余弦值； (3)二面角A-BC-D的平面角的余弦值； *(4)二面角C-FD-E的平面角的余弦值； *(5)二面角BC-D-EF的平面角的余弦值.

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2. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC, AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=2,PB⊥PD.

(1)求异面直线PD与BC所成角的余弦值；(2) 求直线PC与面ABCD成角的余弦值

) (2')求直线PC与平面ABP所成的角；(60 )

(3)求平面PAB与平面ABC的法向量所成的锐角的余弦值；2

(45 ，)

2

7

(4)求二面角A—PB—C的大小；( arccos)

14

PM

(5)设点M在棱PC上，且平面BMD. ( =2) ,问 为何值时，PC⊥

MC

(6) 在棱PC上是否存在一点N，使得点N到平面PAB的距离是1，若存在，求出点N的位置，若不存在，说明理由。(存在：PN=2NC)

L5综合练习 //先证明再建系//

1. 如图，在三棱锥P ABC中，AC BC 2， ACB 90，AP BP AB，PC AC． （Ⅰ）求证：PC AB；

（Ⅱ）求二面角B AP C的大小；(arccos（Ⅲ）求点C到平面APB的距离．(

2) 3

3) 3

P

B

//开放性命题//

2. 【2014高考湖北理第19题】如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，

E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点，点P,Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP BQ 0 2 . （Ⅰ）当 1时，证明：直线BC1//平面EFPQ； （Ⅱ）是否存在 ，使平面EFPQ与面

PQMN所成的二

面角为直二面角？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. （1

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） 2

3. 如图, 直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直. AB∥CD, AB BC, AB 2CD 2BC, EA EB.

(Ⅰ) 求证: AB DE;

(Ⅱ) 求直线EC与平面ABE所成角的正弦值; (Ⅲ) 线段EA上是否存在点F, 使EC// 平面FBD？若存在, 求出

C

EF

; 若不存在, 说明理由. EA

三、教学中几个问题

1．传统与向量并行，做适当补充

例1. 如图， l 是直二面角，A,C l,B ,D , BAC ACD 45 .

则异面直线AB、CD所成的角的度数为 .

例2. 一个二面角 l 的棱上有两点A,C ，AB ,CD ，AB l,CD l

， AB 6,CD 8,AC 4,BD ，则 l 的大小为_______.

变式: 如平行四边形ABCD中，AB=AC=1， ACD=90°，将△ABC沿着对角线AC翻折，使得AB与CD成60°角，求B、D两点间的距离.

B

例3.正方体ABCD-A’B’C’D’中，E、F分别是AA’、CC’的中点，则直线BB’与平面B’EDF所成的角的余弦值是_____.平面B’EDF与平面ABCD所成的锐角平面角的余弦值是_____.

E

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2．二面角的锐钝判断

例4. 正方体ABCD-A’B’C’D’中，二面角D-A’C-B的大小是__________.

3. 开放性命题的逻辑

例5．(2000全国理18改) 如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形， 且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD. （I）证明：C1C⊥BD；

CD

的值为多少时，能使A1C 平面C1BD？请给CC1

出证明。

（II）当

四、高考题选

1.【2014大纲高考理第11题】已知二面角 l 为

60 ，AB ，AB l，A为垂足，CD ，C l， ACD 135 ，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )B

A．

11

B

． C

． D． 4244

2. 【2014四川高考理第8题】如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上 …… 此处隐藏：1917字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……