16.3分式方程(第1课时)

回顾与思考 1. 什么叫做一元一次方程? 2. 下列方程哪些是一元一次方程?

(1)3x 5 3( 3 )x x 52

( 2)x 2y 5x x 1 (4) 1 2 3

分母中不含未知数的方程叫做整式方程.3. 什么叫做分式方程?

10 6 20+v 20 v这个方程的分母中含有未知数

【分式方程的定义】 分母中含未知数的方程叫做 分式方程. 整式方程的未知数不在分母中 分式方程的分母中含有未知数

(1)( 2)( 3)( 4)

2x 3 (否) 5是 分 式 方 程 2 3 4 是分式方程 (是) 4 4x x 3x 1是 分 式 方 程 x 1 1 是分式方程 x 1 y 12(是)

(是)

下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.

x 2 x (1) 2 3

4 3 7 x y

整式方程

1 3 (2) x 2 x

x( x 1) (4) 1 x

(3)

3 x

x 1 x 2 10 (6) x 5 2

1 (5)x 2 x

2x 1 3x 1 x

分式方程

回顾与思考 解方程

x x 1 1 2 3

步骤1、 去分母 2、 去括号 . 3、 移项.合并同类项 4、 化系数为1.

解:

3x 2( x 1) 6 3x 2x 2 6 x 8

100 30 x x 7

如何求分式 方程的解呢?

去掉分母，化为整式方程。如何去掉分母，化 为整式方程还保持 等式成立?

解方程 解

100 30 x x 7方程两边同乘以x(x-7),约去分母,得100(x-7)=30x

解这个整式方程,X=10

得 得

检验:把x=10代入x(x-7),10×(10-7)≠0 所以, x=10是原方程的解.

x 2 16 x 2 (2) 2 x 2 x 4 x 2

解：方程两边同乘以( x 2)( x 2), 注意：分 式方程的 2 2 得， 2) 16 ( x 2) , (x 求根过程

x 4 x 4 16 x 4 x 4, 不一定是 同解变形， x 2. 所以分式 检验：把x=2代入 x2-4, 方程一定 要验根！ 得x2-4=0。 ∴x=2是增根，从而原方程无解。.2 2

解分式方程的一般步骤: 1.去分母。化分式方程为整式方程.即 把分式方程两边同乘以最简公分母. 2.解这个整式方程. 3.检验.把整式方程的解(根) 代入最 简公分母, 若结果为零则是增根,必须 舍去,若结果不为0,则是原方程的根. 4.写结论

类似的

x 3 解方程 : 1 x 1 ( x 1)( x 2)

探究分式方程的增根原因在将分式方程变形为整式方程时，方程 两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了 分母，有时可能产生不适合原分式方程的解 (或根),这种根通常称为增根. 因此，在解分式方程时必须进行检验.那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？

探究分式方程的增根原因对于原分式方程的解来说，必须要求使 方程中各分式的分母的值均不为零，但变 形后得到的整式方程则没有这个要求.如果 所得整式方程的某个根，使原分式方程中 至少有一个分式的分母的值为零，也就是 说使变

形时所乘的整式(各分式的最简公 分母)的值为零，它就不适合原方程，即 是原分式方程的增根.

解分式方程的思路是：分式 方程去分母等号两边都乘以 最简公分母

整式 方程

验根

解分式方程的一般步骤1、 2、 3、 4、 去分母， 解整式方程. 验根 写结论.

解方程(1)

:(2)

1 2 2x x 3

x 2x 1 x 1 3x 3

4 (3) 2 2 x 1 x 1

5 1 (4) 2 0 2 x x x x

x 3 2 x 1 2x 2 x 3 3 1 x 2 2 x 2x 2 1 2x 1 x 2

【小结】通过例题的讲解和练习的操作,你能总结出解分式 方程的一般步骤吗? 解分式方程的一般步骤: 分式方程去分母

整式方程解整式方程

目标

X=a检验 最简公分 最简公分 母为0 母不为0

a是分式 方程的解

a不是分式 方程的解

1.若方程中的分母是多项式,须先分解 因式.再确定最简公分母.

2.若方程中的含有整数项,去分母时不 要漏乘.

课堂练习

3 6 x+m 例3:当m=_____时,----+-----=-------有增根. x x-1 x(x-1)

解:在方程两边都乘以x(x-1)得3(x-1)+6x=x+m

所以8x-m-3=0. 因为方程的增根是x=0或x=1 所以m= -3或m=5.