材料力学课后习题答案6章

材料力学课后习题答案

第六章 弯曲应力

题号 页码 6-3.........................................................................................................................................................1 6-7.........................................................................................................................................................2 6-10.......................................................................................................................................................3 6-13.......................................................................................................................................................4 6-14.......................................................................................................................................................6 6-17.......................................................................................................................................................7 6-18.......................................................................................................................................................9 6-19.....................................................................................................................................................10 6-21.....................................................................................................................................................11 6-23.....................................................................................................................................................13 6-26.....................................................................................................................................................15 6-28.....................................................................................................................................................16 6-31.....................................................................................................................................................17 6-33.....................................................................................................................................................18 6-34.....................................................................................................................................................19 6-36.....................................................................................................................................................20 6-38.....................................................................................................................................................22 6-40.....................................................................................................................................................22

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6-3 图示带传动装置，胶带的横截面为梯形，截面形心至上、下边缘的距离分别为

y1与y2，材料的弹性模量为E。试求胶带内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。

题6-3图

解：由题图可见，胶带中性层的最小曲率半径为 依据

ρmin=R1

σ=

Ey ρ

可得胶带内的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力分别为

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和

σt,max=

Ey1

R1

σc,max=

Ey2

R1

6-7 图示直径为d的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。试问：

(1) 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h和b应分别为何值； (2) 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，

h和b又应分别为何值。

题6-7图

解：(1) 为使弯曲强度最高，应使Wz取最大值。 由 得

由此可得

bh2b2

Wz==(d b2)

66

dWz12

=(d 3b2)=0 db6

b=

36d，h=d2 b2=d 33

(2) 为使弯曲刚度最高，应使Iz取最大值。 由 得

bh3h3

=Iz=d2 h2 1212

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由此得

dIz3h2(d2 h2) h4

=0 =

22dh12d h

h=

3d

d，b=d2 h2= 22

6-10 图示截面梁，由№18工字钢制成，截面上的弯矩M = 20kN·m，材料的弹性模

量E = 200GPa，泊松比µ= 0.29。试求截面顶边AB与上半腹板CD的长度改变量。

题6-10图

解：1.查№18工字钢的有关数据

工字钢截面大致形状及尺寸符号示如图

6-10。

由附录F表4查得

图6-10

h=180mm，b=94mm

t=10.7mm，Iz=1660cm4，Wz=185cm3

2．计算顶边AB的长度改变量 顶边处有

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σmax=

MWz

µσmax

E

ε′=µε=

由此可得AB边的伸长量为

3

0.290.0942010×××m AB=ε′b==

EWz200×109×185×10 6

=1.474×10 5m=0.01474mm

3．计算上半腹板CD的长度改变量

µbM

距中性轴z为y1的点，弯曲正应力的绝对值为

该处的横向应变为

由此可得线段CD的伸长量为

σ(y1)=

My1

（这里，y1以向上为正） Iz

ε ′ =µ (y1)=

µ My1

EIz

CD=∫ε′dy1=

h1

µ M

EIz

∫

h1

y1dy1=

µ Mh12

2EIz

0.29×20×103×0.07932

=m

2×200×109×1660×10 8

=5.49×10 6m=0.00549mm

计算中用到h1=h/2 t=79.3mm。

6-13 图示矩形截面简支梁，承受矩为M=Fa的集中力偶作用。试绘单元体ABCD

e

的应力分布图（注明应力大小）

，并说明该单元体是如何平衡的。截面的宽度为b，高度为h。

题6-13图

解：1.画剪力、弯矩图

左、右支座的支反力大小均为F/3，方向是左向上、右向下。据此可画FS与M图，示如图6-13a与b。

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图6-13

2．求单元体两端面上的应力及其合力

单元体两端面及纵截面上的应力分布情况示如图c，最大弯曲正应力和剪应力值分别为

σ1max=

M16Fa2Fa

==Wz3bhbhM24Fa

=Wzbh2

σ2max=

τ1max=τ2max=

3FS2F

= 2A2bh

由切应力互等定理可知，纵截面上的切应力τx与τ2max一样大。

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