2009第2学期第07次课 线性变换

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第二章 线性变换(2) Linear Transformation

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§2 线性变换的运算熟练理解与掌握线性变换的运算 理解线性变换本身也是线性空间

什么是线性变换：从V到V上的线性映射称为V上的线性变换。线性变换是线性 映射的一个特例

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再一次写下定义

线性变换保持向量的加法与数量乘法的线性

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线性变换的运算：加法、数乘、乘法

不难验证，它们都是V上的线性变换

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线性变换的运算满足线性空间性质设V为数域P上的线性空间，V上的全体线性 变换对于加法与数量乘法，也构成数域P上 的线性空间 验证加法与数乘满足线性空间的8条定义

简单的线性变换： y = Ax

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线性变换的逆： 线性变换的逆：双射

请对比矩阵可逆的定义 基础命题：逆变换是线性的

回忆矩阵逆的定 义，也是用了如 果存在的字样

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例2

由关系式

x cos sin x T = y sin cos y 确定xOy平面上的一个变换 T , 说明T的几何意义 .

x = r cosθ , 解 记 y = r sin θ , 于是 x x cos y sin T = y x sin + y cos r cosθ cos r sin θ sin r cos(θ + ) = = , r cosθ sin + r sin θ cos r sin(θ + )

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上式表明 : 变换T把任一向量按逆时针方 向旋 转 角.

y

Tα

o

θ

αx

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重要的线性变换零变换 恒等变换 投影变换 P[x]上的积分变换(Χ )与微分变换( ) Χ=Ι ,但Χ ≠Ι Pn[x]上的微分变换 给定的n阶矩阵与向量的乘法 不定积分不是线性变换 从0到x的定积分是线性变换

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线性变换的其他运算线性变换的数乘 线性变换的和 线性变换的幂 线性变换逆的幂 线性变换的多项式

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§3 线性变换的矩阵线性变换在某一组基下的表示方式为一个矩阵。 线性变换的定义中的线性空间可以是无限维的，但 是如果要将矩阵与变换联系起来，所讨论的线性空 间V/P必须是有限维的，通常说 n维。 基在n维线性空间中起着极重要的作用 任意向量是基向量的线性组合 在线性变换之下，任意向量的变换是基向量的变换的线性 组合

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变换、 变换、基和像的关系设V是数域P上的n维线性空间, ε1 , ε2 ,..., εn 是V的一组基. 设 ξ = x1ε1 + x2 ε2 + ... + xn εn , 则

Aξ = A( x1ε1 + x2 ε2 + ... + xn εn ) = x1Aε1 + x2 Aε2 + ... + xn Aεn也就是说，如果知道了基的像，就知道了全体向量的像。 也就是说，一个变换的像由基的像惟一确定

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A

εi → Aεi , i = 1, 2,..., nξ = x1ε1 + x2 ε2 + ... + xn εn

向量的像由基的 像的线性组合= x Aε + x Aε + ... + x Aε Aξ 1 1 2 2 n n

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两个简单的命题(由线性性证明)设V是数域P上的n维线性

空间, ε1 , ε2 ,..., εn 是V的一 组基. V上的线性变换Α与Β相等当且仅当

Aεi = Bεi , i = 1, 2,..., n又设 α1 , α2 ,..., αn 是V中的任意一组向量，则存在 惟一的线性变换 Α,使

Aεi = αi , i = 1, 2,..., n

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基的像(由此引出矩阵表示) 由此引出矩阵表示)基

ε1 , ε2 ,..., εnA : εi → Aεi ∈V i = 1, 2,..., n 基的像也是基向量的线 性组合

变换

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基的像的表示方式n个基向量的像可以表示为基向量的线性组合 Aε1 = a11ε1 + a21ε2 + + an1εn Aε2 = a12ε1 + a22ε2 + + an2εn Aεn = a1nε1 + a2nε2 + + annεn

用简洁的矩阵形式

(Aε1 , Aε2 ,..., Aεn ) = A(ε1 , ε2 ,..., εn ) = (ε1 , ε2 ,..., εn )A称矩阵A为线性变换Α在基 ε1 , ε2 ,..., εn 下的矩阵