【高三总复习】2013高中数学技能特训：2-6 导数的概念及运算(人

【高三总复习】2013高中数学技能特训：2-6 导数的概念及运算(人教B版) 含解析 Word版含答案]

2-6导数的概念及运算

基础巩固强化

1.(文)已知函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( ) 1

A.8 1C.2 [答案] B

[解析] ∵y′＝2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1， 1111

∴x0＝2a∴y02a代入y＝ax2＋1得， 2a4a1， 1

∴a＝4B.

(理)(2011·山东文，4)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )

A．－9 C．9 [答案] C

[解析] 由y＝x3＋11知y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以过点P(1,12)的切线方程为y－12＝3(x－1)，即3x－y＋9＝0，令x＝0得y＝9，故选C.

x2．(文)曲线y＝(－1，－1)处的切线方程为( )

x＋2A．y＝2x＋1 C．y＝－2x－3 [答案] A

x′ x＋2 －x x＋2 ′2

[解析] ∵y′＝，

x＋2 x＋2 1

B.4 D．1

B．－3 D．15

B．y＝2x－1 D．y＝－2x－2

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2

∴k＝y′|x＝－1＝＝2，

－1＋2 2

∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.

x＋1

(理)(2012·烟台调研)设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax

x－1＋y＋1＝0垂直，则a等于( )

A．2 1C2 [答案] B

x－1 － x＋1 2

[解析] ∵f ′(x)＝＝－

x－1 2 x－1 211

∴f ′(3)＝－22(－a)＝－1， ∴a＝－2.

3．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f ′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在( )

A．第一象限 C．第三象限 [答案] C

[解析] 由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f ′(x)＝2ax＋b，由于f ′(x)图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)＝a(xb2b2bb2

＋2a)－4a(－2a4a)在第三象限，故选C.

4．(文)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )

A．－1

B．－2 1D.2

B．第二象限 D ．第四象限

B．－2

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C．2 [答案] B

D．0

[解析] f ′(x)＝4ax3＋2bx，f ′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f ′(1)＝4a＋2b，

∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2，故选B.

[点评] 要善于观察，由f ′(x)＝4ax3＋2bx知，f ′(x)为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.

(理)已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f ′(1)的值是( )

13

A.2 B．1 C.2 D．2 [答案] D

1

[解析] 由条件知，y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率f ′(1)＝2又点(1，f(1))在切线x－2y＋1＝0上，

1

∴f(1)＝1，∴f(1)＋2f ′(1)＝1＋2×22.

5．(文)若函数f(x)＝exsinx，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为( )

πA.2 C．钝角 [答案] C

[解析] y′|x＝4＝(exsinx＋excosx)|x＝4＝e4(sin4＋cos4)＝2e4sin(4π

＋4，故倾斜角为钝角，选C.

(理)已知f(x)＝logax(a>1)的导函数是f ′(x)，记A＝f ′(a)，B＝f(a＋1)－f(a)，C＝f ′(a＋1)，则( )

B．0 D．锐角

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A．A>B>C C．B>A>C [答案] A

B．A>C>B D．C>B>A

[解析] 记M(a，f(a))，N(a＋1，f(a＋1))，则由于B＝f(a＋1)－f(a)＝

f a＋1 －f a

MN的斜率，A＝f ′(a)表示函数f(x)＝

a＋1 －a

logax在点M处的切线斜率；C＝f ′(a＋1)表示函数f(x)＝logax在点N处的切线斜率．所以，A>B>C.

π ，16．(文)已知函数f(x)＝kcosx的图象经过点P3 ，则函数图象

上过点P的切线斜率等于( )

A．1 C3 [答案] C

π π

[解析] f 3 ＝kcos3＝1 k＝2，f ′(x)＝－ksinx，

π π

∴点P处切线斜率为k′＝f ′ 3＝－2sin33.

B.3 D．－1

π

(理)设函数f(x)＝sin ωx6－1(ω>0)的导函数f ′(x)的最大值为

3，则f(x)图象的一条对称轴方程是( )

π

A．x＝9 π

C．x＝3 [答案] A

π

[解析] f ′(x)＝ωcos ωx＋6的最大值为3，

即ω＝3，

π

B．x6π

D．x2

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π ∴f(x)＝sin3x＋6－1.

πππkπ

由3x＋62＋kπ得，x＝9＋3 (k∈Z)． 故A正确．

7．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝________.

[答案] 1

[解析] 由y′|x＝1＝2a＝2得a＝1.

ππ

8．(2012·苏州十校联考)已知函数f(x)＝f ′(2)sinx＋cosx，则f(4)＝________.

[答案] 0

π

[解析] 由条件知，f ′(x)＝f ′(2)cosx－sinx. π

∴f ′(2＝－1，∴f(x)＝－sinx＋cosx， π

∴f(4)＝0.

9．(2011·宁波市期末)对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处

a

的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列 n＋1的前n项和是

________．

[答案] 2n＋1－2

[解析] ∵y＝xn(1－x)，∴y′＝(xn)′(1－x)＋(1－x)′·xn＝n·xn－

1

(1－x)－xn.

f ′(2)＝－n·2n－1－2n＝(－n－2)·2n－1. 在点x＝2处点的纵坐标为y＝－2n. ∴切线方程为y＋2n＝(－n－2)·2n－1(x－2)．

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令x＝0得，y＝(n＋1)·2n， ∴an＝(n＋1)·2n，

a 2 2n－1 n＋1∴数列 n＋1的前n项和为＝2－2.

2－1

134

10．(文)已知曲线y＝3x＋3(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程． 134

[解析] y＝3＋3，则y′＝x2. (1)由题意可知点P(2,4)为切点， y′|x＝2＝22＝4，

所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.

134

(2)由题意可知点P(2,4)不一定为切点，故设切点为(x0，3x0＋3，

2y′|x＝x0＝x0，

1342曲线过点P(2,4)的切线方程为y－3x0＋3＝x0(x－x0)， 142所以4－(3x3＋＝x00(2－x0)， 3

3232x0－3x0＋4＝0 (x0＋1)－3(x0－1)＝0 (x0＋1)(x20－4x0＋4)＝0.

解得x0＝－1或x0＝2， 即切点为(－1,1)或(2,4)．

所以曲线过点P(2,4)的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0. b

(理)设函数f(x)＝ax＋xM(3，f(3))处的切线方程为2x－3y＋3＝0.

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(1)求f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)的单调递减区间；

(3)证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定 …… 此处隐藏：7409字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……