2.2.1.2对数的运算法则及换底公式

前课复习定义： 一般地，如果 的b次幂等于N, 就是b

a a 0, a 1 ,那么数 b叫做

a N

以a为底 N的对数，记作 log a N b a叫做对数的底数，N叫做真数。

前课复习 有关性质： ⑴负数与零没有对数(∵在指数式中 N > 0 ) ⑵ log a 1 0, log a a 1 ⑶对数恒等式

a

log a N

N

log a a bb

前课复习⑷常用对数： 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 为了简便,N的常用对数 log 10 N 简记作lgN。 ⑸自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。 为了简便，N的自然对数 log e N 简记作lnN。 (6)底数a的取值范围： (0,1) (1, ) 真数N的取值范围 : (0, )

新课教学 积、商、幂的对数运算法则： 如果 a > 0,a 1,M > 0, N > 0 有：

log a (MN) log a M log a N (1) M log a log a M log a N (2) N n log a M nlog a M(n R) (3)② 1 有时逆向运用公式③真数的取值范围必须是

(0, )

其他重要公式1:

log a m

n N log a N mn

∴

即证得

m log a N p n

log a m

n N log a N mn

其他重要公式2:

logc N log a N logc a证明：设

(a, c (0,1) (1, ), N 0)

log a N p

由对数的定义可以得：p

N a ,p

log c N log c a , logc N p log c a,log c N p 即证得 log c a

这个公式叫做换底公式

logc N log a N logc a

其他重要公式3:

1 log a b logb a

a, b (0,1) (1, )

log c N 证明:由换底公式 log a N log c a log b b 取以b为底的对数得： log a b log b a 1 logb b 1, log a b log a b还可以变形,得

log a b log b a 1

课堂小结 积、商、幂的对数运算法则： 如果 a > 0,a 1,M > 0, N > 0 有：

log a (MN) log a M log a N (1) M log a log a M log a N (2) N n log a M nlog a M(n R) (3)其他重要公式:

log a m

log c N log a N log c alog a b log b a 1

n N log a N mn

(a, c (0,1) (1, ), N 0) a, b (0,1) (1, )

例题讲解 例1 计算 ( 1) ( 2)

log 2 (2 4 )5 7

log 9 273 log3 7 log 7 8

(3) log 2

例题讲解 例2 用

log a x, loga y, log a z 表示下列各式：

xy (1)log a ; z

(2) log a

x

2 3

y z

例题讲解

7 例3计算： (1)lg 14 2 lg lg 7 lg 18 3解法一：

解法二：

7 7 lg 14 2 lg lg 7 lg 18 lg 14 2 lg lg 7 lg 18 3 3 7 7 2 lg 14 lg( ) lg 7 lg 18 lg(2 7) 2 lg 3 3 2 lg 7 lg(2 3 ) 14 7 lg 7 2 lg 2 lg 7 2(lg 7 lg 3) ( ) 18 3 lg 7 (lg 2 2 lg 3) lg 1 0 0

例题讲解

lg 243 例3计算： (2) lg 9

lg 27 lg 8 3 lg 10 (3) lg 1.2

lg 243 lg 35 5 lg 3 5 解： (2) 2 lg 3 2 lg 9 lg 32

lg 27 lg 8 3 lg 10 lg(3 ) lg 23 3 lg(10 ) (3) 3 22 lg 1.2 lg 10

1 3 2

1 2

3 (lg 3 2 lg 2 1) 2 lg 3 2 lg 2 1

3 2

例4 已知 log 3 12 a,求 log 3 24的值.3a 1 2

1 1 例5 设 3 5 m ,已知 2 , a b 求 m 的值.a b

15

例题讲解

例6: 已知 lg

2 a, 求lg 45. lg3 b,

练习： 已知 log2 3 = a, log3 7 = b, 用 a, b 表示log42 56解：因为log23 = a,则

1 log 3 2 a

, 又∵

log3 7 = b,

log 3 56 log3 7 3 log3 2 ab 3 ∴ log 42 56 log 3 42 log3 7 log3 2 1 ab b 1

课堂小结 积、商、幂的对数运算法则： 如果 a > 0,a 1,M > 0, N > 0 有：

log a (MN) log a M log a N (1) M log a log a M log a N (2) N n log a M nlog a M(n R) (3)其他重要公式:

log a m

log c N log a N log c alog a b log b a 1

n N log a N mn

(a, c (0,1) (1, ), N 0) a, b (0,1) (1, )