《高等代数》(上)期末试卷(A)

《高等代数》(上)期末试卷(A)

《高等代数》（上）期末试卷（A）
一、填空题（每空3分，共15分）
1．设方阵 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，且 EMBED Equation.DSMT4 ，
则行列式 EMBED Equation.DSMT4 .
2.已知A是一个 EMBED Equation.DSMT4 矩阵，且秩 EMBED Equation.DSMT4 ，而 EMBED Equation.DSMT4 ，则秩 EMBED Equation.DSMT4 .
3. 多项式 EMBED Equation.DSMT4 的所有系数之和＝　　 　 ，常数项＝ .
4. EMBED Equation.DSMT4 为多项式，用 EMBED Equation.DSMT4 除时余式为3，用 EMBED Equation.DSMT4 除时余式为5，则用 EMBED Equation.DSMT4 除时余式为 .
二、选择题（每题3分，共12分）
1．设n维向量组 EMBED Equation.DSMT4 的秩为3，且满足 EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 则向量组的一个极大无关组为（ ）
A． EMBED Equation.DSMT4 ； B． EMBED Equation.DSMT4 ； C. EMBED Equation.DSMT4 ； D. EMBED Equation.DSMT4 .
2. EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 矩阵， EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 矩阵，则（　　 ）
A． 当 EMBED Equation.DSMT4 时，必有行列式 EMBED Equation.DSMT4 ； B． 当 EMBED Equation.DSMT4 时，必有行列式 EMBED Equation.DSMT4 ；
C． 当 EMBED Equation.DSMT4 时，必有行列式 EMBED Equation.DSMT4 ； D． 当 EMBED Equation.DSMT4 时，必有行列式 EMBED Equation.DSMT4 .
3．设 EMBED Equation.DSMT4 都是可逆矩阵，则矩阵 EMBED Equation.DSMT4 的逆矩阵为（ ）
A． EMBED Equation.DSMT4 ； B． EMBED Equation.DSMT4 ；
C． EMBED Equation.DSMT4 ； D． EMBED Equation.DSMT4 .
4.已知 EMBED Equation.DSMT4 是数域P上的不可约多项式， EMBED Equation.DSMT4
则下列命题中错误的是（ ）
A．若 EMBED Equation.DSMT4 则 EMBED Equation.DSMT4 ；
B．若 EMBED Equation.DSMT4 则 EMBED Equation.DSMT4 ；
C．若 EMBED Equation.DSMT4 且 EMBED Equation.DSMT4 则 EMBED Equation.DSMT4 ；
D．若 EMBED Equation.DSMT4 则 EMBED Equation.DSMT4 .
三、计算题（共51分）
1. (12分)计算行列式 EMBED Equation.DSMT4 .
2. （15分） EMBED Equation.DSMT4 取什么值时，线性方程组 EMBED Equation.DSMT4
有解？在有解的情形，求一般解.
3．（12分）已知 EMBED Equation.3 ,其中 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ，求矩阵 EMBED Equation.3
4.（12）设 EMBED Equation.DSMT4 ，
分别求 E
MBED Equation.DSMT4 在复数域、实数域和有理数域上的标准分解式.
四、证明题（共22分）
1. （12分）设 EMBED Equation.DSMT4 是非齐次线性方程组 EMBED Equation.DSMT4 的一个解， EMBE

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D Equation.DSMT4 是对应的齐次线性方程组 EMBED Equation.DSMT4 的一个基础解系，证明：
（1） EMBED Equation.DSMT4 线性无关；
（2） EMBED Equation.DSMT4 线性无关.
（2、3题任意选作一题，10分）
2.设 EMBED Equation.DSMT4 为n阶矩阵， EMBED Equation.DSMT4 证明： EMBED Equation.DSMT4 当且仅当 EMBED Equation.DSMT4
3．设 EMBED Equation.DSMT4 是数域P上的多项式， EMBED Equation.DSMT4 与 EMBED Equation.DSMT4 的最小公倍式指的是 EMBED Equation.DSMT4 中满足以下条件的一个多项式 EMBED Equation.DSMT4
（a） EMBED Equation.DSMT4 且 EMBED Equation.DSMT4 ；
（b）如果 EMBED Equation.DSMT4 且 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，那么 EMBED Equation.DSMT4 .
（1）证明： EMBED Equation.DSMT4 中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，是唯一的；
（2）设 EMBED Equation.DSMT4 都是最高次项系数是1的多项式，令 EMBED Equation.DSMT4 表示 EMBED Equation.DSMT4 与 EMBED Equation.DSMT4 最高次项系数是1的那个最小公倍式，证明：
EMBED Equation.DSMT4









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