2005年全国高中数学联赛四川省初赛

数学竞赛

2006年第4期31

2005年全国高中数学联赛四川省初赛

　　一、选择题(每小题5分,共30分)

(B)192(C)216({Db)n1.已知正项非常值数列{an}、}an、bn、an+1成等差数列,n.数列.令cn=cn的说法

).中,正确的是((A){cn}为等差数列

(B){cn}为等比数列(C){cn}的每一项都是奇数(D){cn}的每一项都是偶数

2.在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、

(每小题5分,共30分)

7.函数f(x)=sin2x+e|sinx+cosx|的最大值与最小值之差等于.

π.则满足不等式8.0≤x≤2sinx->cosx6

的x.

9.如图1,一个立方体的每个角都被截去一个三棱锥,变成一个新的立体图形.那么,在新立体图形顶点之间的连线中,位于原立方体内部的有条.

∠C所对边的边长.若cosA+sinA-).=0,则的值是(　　

cosB+sinBc

(A)1

(B)(C)x

(D)2

3.函数f(x)=9x+9-).小值是(　　

(A)1(B)2

2

2

-2(3x+3-x)的最

(D)-2

图1

(C)-3

10.设S=x2+y2-2(x+y),其中x、

y满足log2x+log2y=1.则S的最小值为

.

2-2=1的左焦点为F1,顶点ab

为A1、A2,P是双曲线右支上任意一点.则分别

4.双曲线

11.设△ABC内接于半径为R的⊙O,且

AB=AC,AD为底边BC上的高.则AD+BC的

).以线段PF1、A1A2为直径的两圆一定(　　

(A)相交(B)内切(C)外切(D)相离

5.设A={1,2,…,10}.若“方程x2-bx-c=0满足b、c∈A,且方程至少

有一个根

a∈A”,就称该方程为“漂亮方程”.则漂亮方程).的个数为(　　(A)8(B)10

最大值为.

rs

12.设r、s、t为整数,集合

{a|a=2+2+2t,0≤t<s<r}中的数由小到大组成数列{an}:7,11,13,14,….则a36=.

三、解答题(每小题20分,共80分)

13.如图2,BD、

CE是△ABC的两条

(C)12(D)14

6.设a1、a2、a3、a4是1、2、3、4的任一个排

列,f是{1,2,3,4}到{1,2,3,4}的一一映射,且

满足f(i)≠i,记数表

A=

a1f(a1)

a2f(a2)

a3f(a3)

a4f(a4)

.

高,F、G分别是DE、BC的中点,O是△ABC的外心.求证:

AO∥FG.

图2

若数表M、N的对应位置上至少有一个不同,就说M、N是两张不同的数表.则满足条件

14.已知正方形ABCD两顶点A、B在抛物

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32中等数学

故最小值为-2.

4.B.

线y=x2上,点C、D在直线y=x-4上.求正方形的边长d.

15.设实数a、b满足a=x1+x2+x3=x1x2x3,ab=x1x2+x2x3+x3x1,其中x1、x2、x3

>0.求P=的最大值.

a2+a

16.某班有20人参加语文、数学考试各一

2

设双曲线的另一个焦点为F2,线段PF1的中点为

C.在△F1F2P中

,C为PF1的中点,O为F1F2的中

点,则有

(||A1A2|).|PF2|PF1.OC=

次,考试按10分制评分,即成绩是0到10数.考试结果是:

(1)没有0(2)、数学成绩都相同.

我们说“同学A比B的成绩好”是指“同学A的语文、数学成绩都不低于B”.证明:存在三个同学A、B、C,使得同学A比B的成绩好,同学B比C的成绩好.

5,方程的两根均为整数且两根一正一负.当有一根为-1时,有9个满足题意的漂亮方程;当有一根为-2时,有3个满足题意的漂亮方程.故共有

12个.

6.C.

对于a1、a2、a3、a4的一个排列,可有9个一一映射满足f(i)≠i.而a1、a2、a3、a4共有A44=24个排列,所以,满足条件的数表共有24×9=216张.

二、7.1+.

f(x)=sin2x+e

|sinx+cosx|x+

参考答案

一、1.A.

由题设可知2bn=an+1+an,an+1=bnbn+1,则

an+1=

bnbn+1.

bn-1bn+bn-1

2

=sin2x+sin

4

|

.

所以,2bn=

2

bn=

bnbn+1,即

时,f(x)取最大值1+;4当x=-时,f(x)取最小值0.4则当x=

从而,最大值与最小值之差等于1+.π<x<.33

ππ

由sinx->cosx,得sinx-63

解得<x<.

339.120.

8.

+bn+1.

故{cn}为等差数列.

2.B.

=0,得

cosB+sinB

-A+

=0,4

B+

4

即　sinA+ sinB+=1.

44

∠A、∠B为三角形的内角

由cosA+sinA-

>0.

据题意,新立体图形中共有24个顶点,每两点连一条线,共有C224=276条,其中所有的棱都在原立方体的表面的共有36条.

新立体图形的每个面上有8个顶点,除去棱以外,

=20条,6个面共120条都在原立方体的2

表面,因此,位于原立方体内部的线段共有

可知,

sinA+

4

=1且sinB+

4

=1.

从而,∠A=∠B=所以,

3.D.f(x)=9+9

x

.故∠C=.42

还可以连

=sinA+sinB=.c

-x

276-36-20×6=120(条).10.4-4.

-2(3x+3-x)

由log2x+log2y=1,得xy=2.又S=x2+y2-2(x+y)

=(x+y)2-2(x+y)-2xy=(x+y)2-2(x+y)-4

=(3x+3-x)2-2(3x+3-x)-2.

令t=3x+3-x≥2,则

y=t2-2t-2=(t-1)2-3.

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2006年第4期

=[(x+y)-1]2-5≥[2=(2-1)2-5=4-4.11.R+R.

2

xy-1]-5

33

如图3,设∠OBD=α,则　AD=R+Rsinα,

BC=BD=Rcosα,2

BC=2Rcosα.

因此,∠EAH+∠HEA=90°.于是,AH⊥DE,即OA⊥DE.由①、②知AO∥FG.

2

14.设A(t1,t2B(t2,t2),显然t1≠t2.1)、因AB∥DC,则1=

2

2,1+t2=1.t2t②

22

|2=t22(21-t2)

-22[1+(t1+t2)2]

3

故AD+BC

=R+Rsinα+2),=R+Rsin=2[(t1+t2)2-4t1t2]=2(1-4t1t2),

其中tanφ=2.

所以,AD+BC的最大值为R+R.

12.131.

有　t1t2=

(2-d2).8

另一方面,d=AD=

①

()2,

=

因为r、s、t为整数且0≤t<s<r,则r最小取2.此时,符合条件的数有C22=1.

当r=3时,s、t可在0、1、2中取,符合条件的数有

C23=3.

=

有　2d2=(t1t2-4)2.

将式①代入式②得d4-68d2+900=0.

解得d=±3或d=±5.舍去负值,正方形的边长为3或5.

15.因为a=x1+x2+x3≥3

3

②

同理,当r=4时,符合条件的数有C24=6;当r=5时,符合条件的数有C25=10;当r=6时,符合条件的数有C26=15;当r=7时,符合条件的数有

1

7

x1x2x3=3

3

a,所

C27

以,a≥3.

又3(x1x2+x2x3+x3x1)≤(x1+x2+x3)2,有3ab≤a2,即3b≤a.则P=

=1+

22a+aa+a

2

2

=21.

因此,a36是r=7中的最小值,即

a36=2+2+2=131.

三、13.如图4,联结

GD、GE.因为

∠BDC=∠BEC

=90°,BG=GC,

≤1+=.a93①

当x1=x2=x3,a=3,3b=a,即x1=x2=x3=等号成立.,a=3,b=时,式①

.9

16.若同学A比B的成绩好,记为A>B.

则DG=BC

2

=EG.

故P的最大值为

图4

又DF=FE,则

GF⊥DE.

①

延长OA交DE于点H,联结OB.

因为∠BDC=∠BEC=90°,所以,B、C、E、D四点共圆.

故∠DEB=∠DCB=

∠AOB.2

又OA=OB,则

∠AOB,即2