三角形四心之向量关系

三角形四心之向量关系

數學傳播34卷1期,pp.29-34

三角形的四心之向量關係式

阮瑞泰

一、前言

在閱讀換個觀點看三角形的四心

BC=a,

AB=c),G為重心、I為內心、H為垂心、O

為外心、此四心與三頂點的連線所形成的三個的三角形,其面積比分別為a△ABG:a△BCG:a△CAG=1:1:1a△ABI:a△BCI:a△CAI=c:a:b

a△ABH:a△BCH:a△CAH=c4 (a2 b2)2:a4 (b2 c2)2:b4 (c2 a2)2a△ABO:a△BCO:a△CAO=c2(a2+b2 c2):a2(b2+c2 a2):b2(c2+a2 b2)

使我聯想起,曾推論所得的三角形之四心向量關係式,發現其係數比恰為四心與三頂點連線的面積比。所以我透過三角形之四心向量關係式之推論,來驗證四心與三頂點連線的面積比。文中用到一些現行高中教材中的公式及定理,及解題技巧。如三角形的重心及內心的向量關係,面積公式(海龍公式),解方程組的克拉瑪公式,三角形的垂心及外心的向量解題技巧,頗適合高中的同學們閱讀參考。

二、本文

(一)公式1:三角形四心的向量關係式

已知△ABC的重心G,內心I,垂心H及外心O,X為空間中任一點,試以XA, XB,XC來表示XG,XI,XH,XO

1 1

XB+1.重心:XG=

3 b XA+XC.

a+b+ca+b+c

29

三角形四心之向量关系

30數學傳播34卷1期民99年3月

a4 (b2 c2)2

3.垂心:XH=

16(a△ABC)

c4 (a2 b2)2XB+2

16(a△ABC)2

XC。

16(a△ABC)2

b2(c2+a2 b2)XA+

解法:重心及內心的關係式於教材中均有說明,不再贅述,僅將關係式列舉如上: a4 (b2 c2)2

3.垂心:XH=

16(a△ABC)

c4 (a2 b2)2XB+2

22

=cx+=

2

b2+c2 a2

b2+c2 a2

b2+c2 a2

2b2

1=x+

x+y

b2+c2 a2

1b2+c2 a2=

2

12b2 1

[(b+c)2 a2][a2 (b c)2]

,

(b2+c2 a2)2

三角形四心之向量关系

三角形的四心之向量關係式31

(令s=

a+b+c

2

=s a,

a b+c

2

=s c)

=

16s(s a)(s b)(s c)

a2+b2 c2 =

b2+c2 a2

1 c2+a2 b2

222 =b+c a

11

=

(b2+c2 a2)(a2+b2 c2)

16s(s a)(s b)(s c)

16s(s a)(s b)(s c)16s(s a)(s b)(s c)

AB+

=

,

△y=

△y

c4 (a2 b2)2c4 (a2 b2)2

16s(s a)(s b)(s c)

XA+ XC

b4 (c2 a2)2

16s(s a)(s b)(s c)

且a△ABC=

16(a△ABC)

b4 (c2 a2)2XA+2

16(a△ABC)

XC。2

a2(b2+c2 a2)

4.外心:XO=

16(a△ABC)2

c2(a2+b2 c2)XB+

三角形四心之向量关系

32數學傳播34卷1期民99年3月

解 法:設 AO =x AB

AB · AO =x· +yAC 2 AC · AO =x· AB AC · +y·AB AB +y· ·AC 2,(外心性質:AB· AO =1

+c2 a2

AC

2

2=cx+b2b2+c2 a2

2=

,y=

1

2

2

AB +

1BC的中點。(直角三角形的外心在斜邊中點)

若b2+c2 a2

=0

1=2x+

b2+c2 a2 b2

x+2y

利用克拉瑪公式求解x,y

b2+c2 a2△= 2 b2

2

=4

b2+c2 a2

b2c2

=

(b+c+a)(b+c a)(a b+c)(a+b c)

,則 a+b+c

2

=s b,

a+b c

2

b2c2

,

△x=

1b2+c2 a2

c2

,

△ y=

21

b2+c2 a2

b2

,

(2)

三角形四心之向量关系

三角形的四心之向量關係式33

∵△=0,∴(x,y)有唯一解 x=

△x

16s(s a)(s b)(s c)b2(a2+c2 b2)

16s(s a)(s b)(s c),y=

△y

16s(s a)(s b)(s c)

AC,

AO=

令X為空間中的任意一點,且AO=xAB+yAC,

∴XO XA=x(XB XA)+y(XC XA) XO=(1 x y)XA+xXB+yXC

=+

a2(b2+c2 a2)

16s(s a)(s b)(s c)

c2(a2+b2 c2)s(s a)(s b)(s c)

a2(b2+c2 a2)則XO=

16(a△ABC)2

c2(a2+b2 c2)XB+

XB

又

a△PAB

|PA|·|PB|·sinθ2

= ′′

|PA|·|PB|·sinθ2l·m

a△PA′B′,1

31

a△A′B′C′。

同理可得a△PBC=

n·l

a△PC′A′。

三角形四心之向量关系

34數學傳播34卷1期民99年3月

a△PAB:a△PBC:a△PCA=n:l:m(2)P在△ABC的外部,則l<0,m,n>0(l>0,m,n<0亦同),如右圖 ′

取PA= PA, P在△A′BC的內部,

且∵( l)PA′+mPB+nPC=0,

∴a△PA′B:a△PBC:a△PCA′=n:( l):m

。

1

a△PAB=|PA′|·|PB|·sin(π θ)=a△PA′B,

2′

同理可得a△PAC=a△PAC。由(1)、(2)得證公式2。

(三)公式3:三角形四心與三頂點連線所成三角形之面積比

已知△ABC的重心G,內心I,垂心H及外心O,則(1)a△ABG:a△BCG:a△CAG=1:1:1。(2)a△ABI:a△BCI:a△CAI=c:a:b。

(3)a△ABH:a△BCH:a△CAH=c4 (a2 b2)2:a4 (b2 c2)2:b4 (c2 a2)2。(4)a△ABO:a△BCO:a△CAO=c2(a2+b2 c2):a2(b2+c2 a2):b2(c2+a2 b2)。

證明:

取X=G,I,O,H,由公式1與公式2即可得證。

三、後語

謝謝學長伍榮輝老師的校稿與鼓勵。

—本文作者任教高雄市市立新莊高中—