【2012考研必备资料】来自官方线性代数配套ppt上知识点总结

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【２０１２考研必备资料】行列式

１全排列

把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（或排列）

２逆序数

在一个排列(i1i2 it is in)中，若数it>is，则称这两个数组成一个逆序．一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数．

逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列．

３计算排列逆序数的方法

方法1：

分别计算出排在1,2, ,n 1,n前面比它大的数码之和，即分别算出1,2, ,n 1,n这n个元素的逆序数，这n个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数方法2：

分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数

４对换

定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换

定理：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性

推论：奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．

５n阶行列式的定义

a11a12 a1naa a2n

D=2122=

an1an2 ann

p1p2 pn

t() 1∑ap1ap2 apn

1

2

n

其中p1p2…pn为自然数1,2,…,n的一个排列;

t为这个排列的逆序数;n阶行列式D亦可定义为D=

p1p2…pn

p1p2…pn

∑

表示对1,2,…,n的所有排列取和

∑( 1)aa

p11

t

p22

…apn,

n

其中t为行标排列p1p2…pn的逆序数.

６n阶行列式的性质

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1)行列式与它的转置行列式相等,即D=DT.2)互换行列式的两行(列),行列式变号.

3)如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零.

4)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数 k 乘此行列式.5)行列式中某一行 (列) 的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.6)行列式中如果有两行 (列) 元素成比例,则此行列式为零.

7)若行列式的某一列 (行) 的元素都是两数之和,则此行列式等于两个行列式之和.

8)把行列式的某一列 (行) 的各元素乘以同一数,然后加到另一列 (行) 对应的元素上去,行列式的值不变.

７行列式按行（列）展开

余子式与代数余子式

在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j 列划去后，留下来的 n 1阶行列式叫做元素aij的余子式，记作Mij；记Aij=( 1)

i+j

M,A叫做元素a的代数余子式.

ij

ij

ij

８克拉默法则

a11x1+a12x2+ +a1nxn=b1,

++ +a2nxn=b2,

如果线性方程组 a21x1a22x2的系数行列式 D≠0,

ax+ax+ +ax=b.

n22nnnn n11

那么它有唯一解

Dj

,j=1,2, ,n.D

其中D（， bn所得到的行列式.jj=1,2, ,n）是把系数行列式 D中第j列换成常数项b1,b２

x

=j

克拉默法则的理论价值

a11x1+a12x2+ +a1nxn=b1,

++ +a2nxn=b2,

如果线性方程组 a21x1a22x2的系数行列式D≠0

ax+ax+ +ax=b.

n22nnnn n11

那么它一定有解，且解唯一

定理：如果上述线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零定理：

a11x1+a12x2+ +a1nxn=0,

a21x1+a22x2+ +a2nxn=0,

如果齐次线性方程组 的系数行列式D≠0

ax+ax+ +ax=0.

n22nnn n11

那么它没有非零解.

定理：如果上述齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零

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矩阵及其运算

１矩阵的定义

a11

由m×n个数aij(i=1,2, m;j=1,2, n)排成m行n列的数表A= a21

am1

叫做m行n列矩阵,简称m×n矩阵

其中m×n个数叫做矩阵A的元素,aij叫做矩阵A的第i行第j列元素.元素是实数的矩阵叫做实矩阵.元素是复数的矩阵叫做复矩阵(1)式可简记为A=(aij)

m×n

aaa

1222

m2

2n

amn

1n

aa

(1)

或A=(aij),m×n矩阵A也记作Am×n.

２方阵列矩阵行矩阵

对(1)式,当m=n时,A称为n阶方阵

a1

只有一列的矩阵A= a2 叫做列矩阵;

am

只有一行的矩阵A=(a1a2 an)叫做行矩阵.

３同型矩阵和相等矩阵

两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵如果A=(aij)与B=(bij)是同型矩阵,并且它们的对应元素相等,即

aij=bij

(i=1,2, ,m;j=1,2, ,n).那么就称矩阵A与矩阵B相等,记作A=B

４零矩阵单位矩阵

元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O

主对角线上的元素都是1,其余元素都是零的n阶方阵,叫做n阶单位阵,简记作E

５矩阵相加

设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n为两个同型矩阵,矩阵加法定义为 A+B=交换律：A+B=B+A

结合律：(A+B)+C=A+(B+C)

(a+b)

ij

ijm×n

,A+B称为A与B的和

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设A=(aij),记 A=( aij), A称为矩阵A的负矩阵,从而有A+( A)=O,并规定A B=A+( B)

６数乘矩阵

数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ,规定为λA=Aλ=(λaij)

运算规律(λµ)A=λ(µA)(λ+µ)A=λA+µA

λ(A+B)=λA+λB

７矩阵相乘

设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,规定A与B的乘积是一个m×n矩阵C=(cij)m×n,s

其中cij=ai1b1j+ai2b2j+ +aisbsj=∑aikbkj，(i=1,2, ,m;j=1,2, n),记作

k=1运算规律(AB)C=A(BC)

λ(AB)=(λA)B=A(λB),(其中λ为数)

A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CAEmAm×n=Am×n=Am×nEn

８方阵的运算

n阶方阵的幂

设A是n阶方阵,定义A1=A,A2=A1A1, ,Ak+1=AkA1,其中k是正整数

AkAl=Ak+l,

(Ak)l

=Akl,其中k,l为正整数

一般地

(AB)k

≠AkBk

方阵的行列式

由n阶方阵A的元素所构成的行列式,叫做方阵A的行列式,记作A或detA运算规律

设λ为数,A,B为n阶方阵,则

λA=λnA;AB=AB

９一些特殊的矩阵

转置矩阵

=AB

C

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把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作AT(AT)=A;

T

(A+B)=AT+BT;T

(λA)=λAT;T

(AB)=BTAT

T

对称矩阵

设A为n阶方阵,如果AT=A,则称A为对称矩阵反对称矩阵

设A为n阶方阵,如果AT= A,则称A为反对称矩阵幂等矩阵

设A为n阶方阵,如果A2=A,则称A为幂等矩阵对合矩阵

设A为n阶方阵,如果A2=E,则称A为对合矩阵正交矩阵

设A为n阶方阵,如果ATA=AAT=E,则称A为正交矩阵对角矩阵

设A为n阶方阵,如果除了主对角线以外,其余元素全为零,则称A为对角矩阵上三角矩阵

主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角矩阵下三角矩阵

主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵伴随矩阵

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