1.2.3导数的计算(复合函数的导数)

复合函数的导数

复习八个公式、三个法则

求下列函数的导数1) y a cos x cos x 3) y 2x

x

2) y sin x x 1 4) y lg x 3

2

x

想一想 ???

1). 求函数y=(3x-2)2的导数 把平方式展开,利用导数的四则运算法则求导. 是否还有用其它的办法求导呢? 2).又如我们知道函数y=1/x2的导数是y’=- 2/x 那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?3

二、新课——复合函数的导数：1.复合函数的概念: 对于函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以示 成x的函数,那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g(x) 的复合函数. 记作y=f(g(x)) 函 数复合函数 内层函数 外层函数 定义域 x∈A x∈A U∈D 值 域

y=f(g(x))

y∈B U∈D y∈B

u=g(x) y=f(u)

问题1:指出下列函数的复合关系

1) y (a bx )

n m

2) y sin(x

1

y 解: 1)

u m , u a bx n 1 2) y sin u , u x x3

x

)

3) y ln e

x

23

4) y 3

log2(x 2 2x 3)

3) y ln u ,u

v ,v e x 2

4) y 3u ,u log2 v ,v x 2 2x 3

2.复合函数的导数: 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x) f x [ ( x)] f (u) ( x). 的导数间关系为 y x y u ux ; 或 注:1)y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 如:求函数y=(3x-2)2的导数, 令y=u2,u=3x-2,

2u , u y 则 yu x yu u x 18 x 12 x 3, 从而 2)法则可以推广到两个以上的中间变量.

y f ( g (u ( x )))

y ' f g ' g 'u ux '

3)在书写时不要把 f x [ ( x )] 写成 f [ ( x )],两者是 不完全一样的,前者表示对自变量x的求导,而 后者是对中间变量 ( x ) 的求导.

二、复合函数求导举例例 1 设 y = (2x + 1)5,求 y .

解 把 2x + 1 看成中间变量 u,将 y = (2x + 1)5 看成是 y = u 5, u = 2 x + 1

复合而成， 由于

y u (u5 ) 5u4 ,所以

u x (2 x 1) 2.4 4 y y u 5 u 2 10 ( 2 x 1 ) . x u x

例2 解

设 y = sin2 x,求 y . 这个函数可以看成是 y = sin x · sin x, 可利

用乘法的导数公式，这里， 我们用复合函数求导法. 将 y = sin2 x 看成是由 y = u2,u = sin x 复合而成. 而

y u (u ) 2u ,2

u x (sinx ) cos x.

所以

y x yu ux 2u cos x 2 sinx cos x.

例3:求下列函数复合的导数

1) y (a bx n )m解:

1)因y=um , u=a+bxn

而y u' = m g u m - 1 ,u'x = nbx n- 1又y 'x = y u' g u 'x

∴y

' x

= nmbx (a + bx )

n- 1

n

m-1

例3:求下列函数复合的导数

2) y sin(x 解:

1

x

)

1 2)因y = sinu , u = x + x 1 ' ' 而y u = cosu,u x = 1 - 2 x 又y x' = y u'u x' ∴ yx'

1 1 = (1 - 2 )cos(x + ) x x

例3:求下列函数复合的导数

4) y 3

log2(x 2 2x 3)

u 2 4 ) y 3 , u log v , v x 2x 3 解:

2 1 ' u ' y u = 3 ln3 ,uv = ,v x' = 2x - 2 vln2

yx

'

1 3 ln 3 (2x 2) v ln 2ulog2( x 2 2 x 3 )

2(x 1) 3 ln 3 2 (x 2x 3)ln 2

例4

设 y 1 x 2 , 求 y .将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中.1 1

解

1 2 1 2 2 y ( u ) u ( 1 x ) 也 在 心 中 运 算. u 2 2

这样可以直接写出下式

1 2 y ( 1 x ) x 2

1 2

(1 x ) x 2

x 1 x2

.

例5 解

设 y lnsin x , 求 y .这个复合函数有三个复合步骤

y lnu, u sinv, v x .把这些中间变量都记在脑子中.

1 y (sin x ) x x ( x) sin x 1 1 cot x . cos x ( x ) x 2 x sin x

函数 y

A. y 2 2 cos(2 x ) B. y cos 2 x sin 2 x 4 C. y sin 2 x cos 2 x

sin 2 x cos 2 x 的导数是( A

)

D. y 2 2 cos(2 x ) 4

练习:求下列函数的导数

1 4 1). y ' 4(2 x3 x 1 )3 (6 x 2 1 1 ) 1). y (2 x x ) 2 x x x 2x ' 1 2). y 2). y 2 2 2 (1 2 x ) 1 2 x 1 2x 3). y ' 3sin(2 x ) sin(4 x 2 ) 3 3). y sin (2 x ) 3 3 33

4). y x 1 x

2

2 2 (1 2 x ) 1 x 4). y ' 1 x2