量子力学周世勋习题解答第四章

周世勋习题解答

第四章习题解答

4.1.求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和L2x的矩阵元。

p r13 p r

z zp y)ed 解：(Lx)p p ()e(yp

2

i i

p r13 p r

()e(ypz zpy)ed

2

i i

13 p r p r

() e( i )(pz py)ed

2 py pz

i

i

r 13 p p ）

( i )(pz py)()ed

py pz2

i (py pz) (p p )

pz py* 2

(x)L d ) (L2 xp ppxp p r13 p r2

()e(ypz zpy)ed

2

i i

p r13 p r

z zp y)(yp z zp y)e d () e(yp

2

i i

13 p r p r

z zp y)(i )(py () e(yp pz)ed

2 pz py

i

i

i

p r 13 p r

z zp y)e d (i )(py pz)() e(yp

pz py2

r 213 p p ）2

(py pz)()ed

pz py2 2

2(py pz) (p p )

pz py

#

4.2 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。

2n

解：基矢：un(x) sinx

aa 2 2n2

能量：En 2

2 aa2m

axdx 对角元：xmm xsin2

0aa22am x) x (sin)dx 当时，m n xmn (sin

0aaa

i

i i

周世勋习题解答

1a (m n) (m n)

xcosx cosa 0 aa

x dx

a

1 a2(m n) ax(m n) [cosx sinx]22

a (m n) a(m n) a0

a

a2(m n) ax(m n)

[cosx sinx] 22

a(m n) a(m n) 0 a11

2( 1)m n 1 2 (m n)2 (m n)

4mnm n

( 1) 12222

(m n)

a2m dn *

un(x)dx i sinpmn um(x)px sinxdx

0aadxa

2n am n i2 sinx cosxdx

0aaa

n a (m n) (m n) i2 sinx sinx dx

aaa0

a

n a(m n) a(m n)

i2 cosx cos

a(m n) aa (m n) 11 m n

1] (m n)(m n) ( 1)

i2mn

( 1)m n 12

(m n2)a in aa2

x 0

a

#

4.3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。

解：定态薛定谔方程为

2

1p222d C(p,t) C(p,t) EC(p,t) 222 dp

21p222d 即 C(p,t) (E )C(p,t) 0 222 dp2

两边乘以，得

周世勋习题解答

1

1

d22Ep2

C(p,t) ( )C(p,t) 0 2

dp

令

1

p p,

1

2E

d2

2C(p,t) ( 2)C(p,t) 0

d

跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为

En (n 2)

1i

2p2 Ent

C(p,t) Nne2Hn( p)e

式中Nn为归一化因子，即

Nn (1/2n)1/2

2n!

#

4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。

121 2 2122 x 解：H p 2x2 22 22 x2

(x)dx H *(x)H

pp

pp

pxp x1 2 2122

e( x)edx 2 2 2 x2

(p p)x(p p)x 2i121212 (p )edx xedx 2 2 22

i

i

ii

2

(p p)x p 21212 (p p) ()edx 2 2 22 i p 2

p 212 2 (p p) ()2 2i p 2

i

1

e

i

(p p)x

dx

2

p2122 (p p) (p p) 2 2 p 2

2p2122 (p p) (p p) 22 2 p

#

和L 的矩阵分别为 2和L 的共同表象中，算符L4.5 设已知在LZxy

周世勋习题解答

0 i0 010

2

Lx i0 i 101 Ly

22 0i 0 010

求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵Lx和Ly对角化。

解：Lx的久期方程为

2

0 2

0 3 2 0

20

2

1 0， 2 ， 3

的本征值为0， ， ∴L

x

的本征方程 Lx

a1 010 a1

101a a2 2 2 a 010 a3 3 a1

的本征函数L 2和L 共同表象中的矩阵 其中 a2 设为LZx

a 3

当 1 0时，有

010 a1 0

101 a2 0

2 010 a3 0 a2 0

a1 a3 0 a3 a1，a2 0

2 0 a2

a1

∴ 0 0

a 1

由归一化条件

a1 2 **

1 0 0 (a1,0, a1) 0 2a1

a 1

取 a1

12

周世勋习题解答

1 2

的本征值0 。 对应于L 0 0x

1

2

当 2 时，有

a1 010 a1

101a a2 2 2 a 010 a3 3 1

a2 2 a a2 2a1 1 1 (a1 a3) a2 a2 2a3

a a1

1 a3 3

a2 2

a1

∴ 2a1

a1

由归一化条件

a1 2***

1 (a1,2a1,a1) 2a1 4a1

a1

1

取 a1

2

1 2 1

的本征值 ∴归一化的 对应于Lx

2 1 2

当 2 时，有

a1 010 a1

101 a2 a2

2 a 010 a3 3

周世勋习题解答

2 a a2 2a1

1 1

(a1 a3) a2 a2 2a3 2 a a a31 31

a2

2

a1

∴ 2a1

a1

由归一化条件

a1 2***

1 (a1, 2a1,a1) 2a1 4a1

a1

1

取 a1

2

1 2 1 的本征值 ∴归一化的 对应于Lx

2 1 2

表象的变换矩阵为 2和L 的共同表象变到L 由以上结果可知，从LZx

1a1

111

22 2

11

S 0 22

11 1

22 2

∴对角化的矩阵为L SLxS x

L x

2

121212

01 212

11

2 010 2

1

101 0 2

010 1 1

2 2

1

21212

2 1 2 121

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