线性代数(第一章行列式)

线性代数

第二章

行列式 Cramer法则

n 阶行列式的定义、性质及计算方法

克拉默(Cramer)法则

线性代数

1. 二阶行列式对于给定的二元线性方程组

a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2其系数矩阵

(1)

a11 a12 A a21 a22 是一个二阶方阵.

线性代数

用消元法求解线性方程组(1),得

(a11a22 a12 a21 ) x1 b1a22 b2 a12 (a11a22 a12 a21 ) x2 b2 a11 b1a21该式中 的系数 称为由二阶 方阵 A 所确定的二阶行列式，记为

线性代数

矩阵

A 的行列式还记作 A 或 det A,即

一般地，二阶行列式

可按下图所示的对角线法则确定其值：

线性代数

a11

a12 a22

a21

2

方阵与矩阵的区别：二阶方阵是 2 个数按确定 的方式排成的一个数表，而二阶行列式是这些 数(也就是二阶矩阵 A)按一定的运算法则所 确定的一个数.

线性代数

2 x1 4 x2 1 例1 求解二元线性方程组 x1 3x2 2 2 4 解 因为 D 6 4 2 0, 1 3 2 1 1 4 4 1 3 , D1 3 8 5 , D2 1 2 2 3所以 D1 5 x1 D 2 . x2 D2 3 D 2

线性代数

2. 三阶行列式定义 对于一个给定的3阶方阵

A aij (i, j 1, 2,3)

将之与数

a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31相对应，那么这个数就称为由矩阵 A 所确定的 三阶行列式

线性代数

记作

a11 a31

a12 a32

a13 a23 a33

D det A A a21 a22

a11a22 a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12 a21a33 a13a22 a31

线性代数

例2 计算三阶行列式

1 2 3 D 3 1 2. 2 3 1解 D 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 23 3 3

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线性代数

对于三元线性方程组， 如果它的系数行列式

a11 a12 a13 D a21 a22 a23 0 a31 a32 a33

利用消元法求解，则可得方程组的解为 D1 D x1 D2 x 2 D x 3 D3 D

线性代数

为书写方便，将之记成

x1 ,

x2 , x3

T

D1 D2 D3 , , D D D

T

其中 D j ( j 1,2,3) 是用常数项 b1 , b2 , b3 替换 D 中的第 j 列所得的三阶行列式，即

b1 a12 a13

a11 b1 a13

a11 a12 b1

D1 b2 a22 a23 D2 a21 b2 a23 D3 a21 a22 b2 . a31 a32 b3 b3 a32 a33 a31 b3 a33

线性代数

例3 解三元线性方程组

2 x1 4 x2 x3 1 x1 5 x2 3x3 2 x x x 1 3 1 2解

2 4 1 D 1 5 3 10 12 1 5 6 4 8 0 1 1 1

线性代数

1 4 1

2 1 1

2 4 1

D1 2 5 3 11 D2 1 2 3 9 D3 1 5 2 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1

x1 ,

x2 , x3

T

D1 D2 D3 , , D D D

T

9 3 11 , , 8 4 8

T

线性代数

3.

n 阶行列式 采用递归的方法给出其定义： (1)设 A a11 a11 是一阶方阵，则它所 确定的一阶行列式 det A a11 定义成 数 a11. (2)二阶矩阵 A aij (i, j 1, 2) ,它所定 义的二阶行列式

a11 A a21

a12 a11a22 a12 a21 a22

线性代数

(3)对于三阶矩阵 A aij (i, j 1, 2,3) 所确 定的三阶行列式

a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33

a11a23a32 a12 a21a33 a13a22 a31 a11 (a22 a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31 ) a13 (a21a32 a22 a31 )

线性代数

a22 a23 a21 a23 a21 a22 a11 a12 a13 a32 a33 a31 a33 a31 a32即

a11 a12 a21 a22 a31 a32

a22 a23 a21 a23 a23 a11 a12 a32 a33 a31 a33 a33 a21 a22 a13 a31 a32

a13

线性代数

(4)假设由 (n 1) 阶方阵所确定的(n 1) 阶 行列式已有定义，那么， n 阶方阵所确定 的 n 阶行列式用归纳法定义为

a11 a21 D det A A an1

a12 a22 an 2

a1n a2 n ann

线性代数

a22 a11 an 2

a21 a2 n a31 a12 ann an1n 1

a23 a2 n a33 a3n an 3 ann

a21 a2, n 1 ( 1) a1n an1 an ,n 1

线性代数

将 n阶矩阵 A的元素 aij所在的第 i行第 j列 A 中剩下的 (n 1)2个元素 处的元素划去后， 按原来的排列顺序组成 n 1 阶矩阵所确定 的行列式记作M ij ,称之为 aij的余子式， i j Aij ( 1) M ij 为 aij的代数余子式 (i, j 1, 2, , n)那么，上述行列式的定义可记为 a11 a12 a1n

a21 D A det A an1

a22 an 2

a2 n ann