一维热传导方程定解问题的两种积分变换解法

第1 5卷第 1期2 0 1 2年 1月

高等数学研究STU D I ES I N C0 LLEGE M A T H EM A TI CS

VoI .1 5, No .1

J a n .,2 0 1 2

一

维热传导方程定解问题的两种积分变换解法金启胜(安庆职业技术学院公共基础部，安徽安庆 2 4 6 0 0 3 )

摘要利用 F o u r i e r变换和 L a p l a c e变换的一些性质求解一维热传导方程的定解问题，将两种求解方法进行比较，给出两种求解方法的区别和联系 .

关键词 F o u r i e r变换； L a p l a c e变换；热传导方程中图分类号 O1 7 5 . 2 文献标识码 A 文章编号‘ 1 0 0 8— 1 3 9 9 ( 2 0 1 2 ) O l一 0 0 7 1— 0 2

F o u r i e r变换和 L a p l a c e变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系

程的初值问题

统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要的作用.人们在研究这些系统时，往往从实际问题出发，将研究的对象归结为一个数学模型，在通常情况下，这个数学模、

[ ㈤

],

【 u (甜， ) J 。:o,其解为U G,, 一 e -￣ O 2 a s t ( d 5

型是线性的，换言之，这个数学模型可以用线性的积分方程、微分方程、微分积分方程以及偏微分方程等来描述 .利用 F o u r i e r变换和 L a p l a c e变换的性质求解这些线性方程时步骤明确、方法一致，而且根据现成的 F o u r i e r变换表和 L a p l a c e变换表，避免了复杂运算.这在工程技术中应用十分广泛_ 1 ] . 下面我们就利用 F o u r i e r变换和 L a p l a c e变换两种积分变换方法同时求解一维热传导方程定解问题，并进行比较 . 例 1 求鳃定解问题

对上式两端取 F o u r i e r正弦逆变换，并利用已知的积分公式

J f e I。 2 2 c。 s妇 d z一 e一 b 2,0 口

因此，原定解问题的解为

u ( x,￡ ): F- [己， (

∞,￡ )]一

呈f+ o u ( ,￡ ) i n d :7 r J 0

f一 a。嘉( o< z<+> o ),1 l一一 ( ),【 I。一0 .解法 1 ( F o u r i e r变换法) 对方程和初始条件关于 z取 F o u r i e r正弦变换.记

Ⅲ∞ e - a 2 w Z< t - - O S i n眦 d ] 一 警 c [= s i n l -+2a.,

2 ( t -O X COS

-

2a

￣J

2( t -￣ )

C O S啦 d

一

F E u ( x,￡ )]一I u ( x, t ) s i n d z一【, ( ( u,￡ ),

2 J f f乇 o(一 )号……n

砖一 s i n 出一一，F[ I o]一 U( o J,￡ ) I ; o,

解法 2 ( L a p l a c e变换法 ) 对方程和初始条件关于 t取 L a p l a c e变换.记

L E u ( x,￡ )]一 U( x, s ),

F[ ]一 L, ( ), 将求解原定解问题化为求解含有参数的常微分方收稿日期： 2 0 1 0— 0 9 - 0 8;修改日期： 2 0 1 I - 1 2— 0 6

L[笔] s U ( x一 I f= o— s U ( x,

L[象]一叁 ,L[ (￡ )]一 ( s ) .由热传导方程的物理意义可知( z.￡ )÷ 0 ( z +∞ .

基金项目： 2 0 1 0年安庆职业技术学院教学改革课程 ( 2 0 1 0 J GKC 0 1 9 ) 作者简介：金启胜( 1 9 7 2 -),男，安徽桐城人，硕士，副教授，主要从事微分方程研究. Ema i l: j i n q i s h e n g 2 0 0 8@y a h o o . e l l

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高等数学研究

U( z, s )÷ 0

( z+∞ ),

原定解问题就转化为二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题[d z一

L 1[ e一 ]一 L [ s (÷ e _ )]一[ e r f c ( ]:

未 e - r z d r]一 x e一 ,u ( x, ): 7 Kt ) *L[ e -￣ 5]:

0

u: 0, ’

因此，原定解问题的解为

【 Ul。= ( s ) . 该齐次微分方程的通解为

u ( z, )一根据边界条件

+ e{r,

I ( ) *

2 a t√兀 t

考一

u} : o一 ( ), l i mU( z, )一 0,可得C l: 0, 一 ( 5 ),

Z n√丌

r— r f 盟 3 e。卜 -赢 2 t, 。 ( t一 ) 2

在求解线性偏微分方程的定解问题时，首先，根据自变量的变化范围选取变换方法 .如果自变量的变化范围为 (一∞,+o o ),选取 F o u r i e r变换方法；如果自变量的变化范围为 ( O,+o 0 ),选取 L a p l a c e变换.

故通解为

、

U( z, )一 ( s ) e{ z一 ( s )

方法，也可选取 F o u r i e r正弦或余弦变换方法 .其次， 要考虑所给定解条件的形式，如果对某自变量取L a p l a c e变换，必须在定解条件中给出该自变量为零

从而原定解问题的解为

u ( x,￡ )一 (￡ ) *L[根据 L a p l a c e变换简表得

] .

时的未知函数值及低于方程阶数的各阶导数值；如I t t j÷

州÷ s : e d c c 9一.

n

d r .

果对某自变量取 F o u r i e r正弦变换，必须在定解条件中给出该自变量为零时的未知函数值；如果对某自 变量取 F o u r i e r余弦变换，必须在定解条件中给出该

由题意可知

f e— r 2 d r一0 ( z一+∞),盍

自变量为零时的未知函数导数值，否则变换后的象函数的常微分方程的定解不确定，从而原定解问题无法确定引 .参考文献

这也等价于 l e - r d r一 0 (￡一 0 ) . 若记

E l i金启胜，周宗福.利用 F o u r i e r变换求一维波动方程 )一。 r e (

2 n 4 t

)一

√丌

e

C a u c h y问题的定解 E J] .甘肃联合大学学报：自然科学版， 2 0 0 9, 2 3 ( S 2 ): 4 .

则有

E 2 3金启胜，周宗福.利用 L a p l a c e变换求解热传导方程的定

F( s )一 L[ (￡ )]=== e . .由微分性质得

解问题[ J] .佳木斯大学学报：自然科学版， 2 0 0 9, 2 7 ( 4 ):61 8— 61 9.

L[厂( )]: s F( s )一厂 ( 0 ),其中/( O )一 l i mf ( t )一 0,所以

E 3]陈祖墀 .偏微分方程E M] .合肥：中国科学技术大学出版社， 2 0 0 4: 1 3 7— 1 4 2 .

[ 4]谷超豪，李大潜，陈恕行，等.数学物理方程 E M] .北京；

高等教育出版社， 2 0 0 2: 5 6 - 5 9 . [ 5]张元林 .工程数学积分变换[ M] .北京；高等教育出版

L[ - s F( s )]一 f ( ),

社， 2 0 0 6: 5 2~ 6 5 .

T wo I n t e g r a l Tr a n s f o r ma t i o n s i n S o l v i n g 1 - d He a t Eq u a t i o n sJ I N Qi s h e n g( De p a r t me n t o f Pu b l i c B a s i c C o u r s e s,An q i n g Vo c a t i o n a l a n d Te c h n i c a l Co l l e g e,An q i n g 2 4 6 0 0 3,PRC)

Ab s t r a c t: Thi s pa pe r p r e s e nt s t wo wa y s,Fo ur i e r t r a n s f o r ma t i o n a nd La p l a c e t r a ns f or ma t i o n,

i n s o l v i n g o n e— d i me n s i o n a l h e a t e q u a t i o n .Th e d i f f e r e n c e a n d c o n n e c t i o n b e t we e n t h e t wo me t h o d sa r e d i s c u s s e d . Ke y wo r d s: Fo ur i e r t r a ns f o r ma t i o n,La p l a c e t r a ns f o r ma t i o n,h e a t e q u a t i o n

一维热传导方程定解问题的两种积分变换解法

作者：

作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

金启胜

安庆职业技术学院公共基础部,安徽安庆,246003高等数学研究

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