流体力学—Ch2基本方程

第二章流体力学基本方程

三大守恒定律

流体的运动

流体动力学的基本方程

控制方程：积分型：系统，总体性能微分型：流体微团，流场的细节

雷诺输运定理定理：任意时刻，质量体内物理量的随体导数等于该时刻形状、体积相同的控制体内物理量的局部导数与通过该控制体表面的输运量之和。 Q D QdV =∫ dv+ w QV ndA *∫∫∫ D ( t ) DΣ t Dt t= t0

D* (t )D= D* (t0 ) Q n

质量体控制体任一物理量控制体表面外法向单位向量

雷诺输运定理的作用·把一个有限体积内流体的质点导数转化为Euler描述下的控制体导数·提供了一个Lagrange描述的质点力学向Euler描述的流体力学转换的桥梁·系统内部的某一物理量的时间变化率是由两部分组成，等于控制体内的该物理量的时间变化率加上单位时间内通过控制面的该物理量的净通量。

·在定常流动条件下，有 D QdV QV ndA=w *∫∫∫ D ( t )Σ Dt t= t0

也就是说，系统内物理量的变化只与通过控制面的流动有关，而与控制内的流动无关。大大简化了研究内容。

2.1质量守恒定理连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。前提：流体是连续介质，它在流动时连续地充满整个流场。质量守恒定理在流动过程中流体团体积 V的大小和形状可能会发生变化，但质量保持不变。D Dt

∫ρ dvV

= 0

积分形式的连续性方程雷诺输运公式可用于任何分布函数B,如密度分布、动量分布、能量分布等。令B=1,由系统的质量不变可得连续性方程Dρ dV=∫ CV Dt

ρdτ+ρ( v n )dA= 0∫∫ t CV CS

上式表明：通过控制面净流出的质流量等于控制体内流体质量随时间的减少率。在推导上式的时候，未作任何假设，因此只要满足连续性假设，上式总是成立的

固定的控制体对固定的CV,积分形式的连续性方程可化为 ρ dτ∫ρ( v n )dA= ∫ CS CV t

运动的控制体将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只要将速度改成相对速度vr ρ dτ+∫ρ (v r n)dA= 0∫ CV CS t

微分形式的连续方程利用Gauss公式来证明n adA=∫∫∫ adV w∫∫ΣD

n× adA=∫∫∫ × adV w∫∫ΣD

nφ dA=∫∫∫ φdV w∫∫ΣD

微分形式的连续方程的推导在流场的任意点处取微元六面体，如图所示。六面体中的质量随空间和时间变化。ρudyd zdz

o x

ρudydz+

dy

dx (ρudydz)dx x

y

连续方程示意图

(1)空间变化对于x轴方向，单位时间流入微元六面体的质量为

ρ u x dydz流出的质量为

(ρ u x dydz ) ρ u x dydz+ dx x

其质量增加为

(ρ u x dydz ) dx x

同样y、z轴方向的质量增加分别为

(ρu y dxdz ) ( u z dxdy ) ρ dy, dz y z

(2)时间变化设任意时刻微元六面体内的质量力为间内变为

化单位时间内微元六面体内增加的质量为 (ρdxdydz ) t。

ρdxdydz+ (ρ dxdydz ) t,所以由于密度ρ的变

ρdxdydz

,单位时

(3)根据质量守恒定律流体运动的连续方程式为： (ρu y dxdz ) (ρu z dxdy ) (ρdxdydz ) (ρu x dydz ) dx dy dz= 0 x y z t ρ (ρu x ) (ρu y ) (ρu z )+++=0 x z t y

ρ+ ρV= 0 t

物理意义：空间上流入流出质量的增加量应该等于由于密度变化而引起的质量增加量。

其它坐标系的连续方程在柱坐标系中，连续方程式为 (ρu r ) (ρuθ ) (ρu z )ρu r ρ++++=0 r θ r r z t式中 ur, uθ, uz是速度 u在 r,θ, z坐标上的分量。

在球坐标系中，连续方程式为 ρ 2ρur ρurρuθ cotθ (ρuθ ) (ρu )+++++=0 r r r θ r sinθ t r

定常流动和不可压缩流体的连续方程对于定常流动， ρ= 0 t

,连续方程可简化为， xk

ρ (ρu k )= 0+ t x k

(ρ u k )=

0

对于不可压缩流体， u k Dρ+ρ=0 Dt x k

Dρ=0 Dt

,连续方程可简化为，

u k= 0 xk

密度分层流动不可压缩流体Dρ= 0 Dt

上述定义并不要求这个流体质点与另一个流体质点的密度相等，即不要求密度场为均匀场。

ρ=ρ2ρ=ρ1

密度分层流动流体质点可沿ρ=ρ1线或ρ=ρ 2线流动，此时其密度保持为常数ρ1或ρ 2,因此 Dρ= 0,但 ρ≠ 0, ρ≠ 0。Dt

x

y

密度分层流动可能发生在大气中(由空气温度变化引起),也可能发生在大洋中(由于水的含盐量变化引起)。

均质不可压缩流体密度处处相等的不可压缩流体不可压缩流体

Dρ= 0 Dt ρ= 0密度不是 x、y、z的函数Dρ ρ K=+ u ρ Dt t ρ=0 t

均质流体

物质导数定义式

密度也不是 t的函数均质不可压缩流体

ρ= const

在绝大多数情况下，不可压缩流体是均质的。

一维流一维定常流

ρ1V1 A1=ρ 2V2 A2= Qm不可压 V1 A1= V2 A2= QV为什么河道窄的地方水流湍急？为什么水管捏扁了速度快？

第二雷诺输运定理D Dα dv dvρα=ρ∫∫ V V Dt Dt

证明：

D Dt=

∫∫

V

ραdv=

∫

(ρα ) ( )ρα u+ k dv x k V t

ρ (ρu k ) α α ++ uαραρ+ k dv t x k x k V t

α ρ (ρuk )

α ρ dv u++=∫α + k dv ∫V V xk t t xk

根据连续方程于是，

(ρu k ) ρ+=0 t x k

,又

α α Dα+ uk= t x k Dt

Dα Dρα dv=ρ dv∫∫ V V Dt Dt