线性方程组数值求解(2)

||δx||

||x δx||

≤ || A

-1

|| || δA || = || A || || A

-1

||

||δA||||A||

或者

-1 = -δAx A( I + A δA)δx

||A只要||δA||充分小使得 ||AδA || ≤

-1 -1 -1

δx = ( I + AδA) AδAx

-1 -1

|| || δA || < 1

||δA||

-1

||x δx||1-|| A || || δA ||

||δx|||| A

-1

|| || δA ||

|| A || || A

-1

||

1-|| A || || A

-1

||

||A||||δA||||A||

上式表明：当||δA||充分小，矩阵 A 的相对误差||A|| 在解中可能

-1

放大了|| A || || A ||倍.

五、 算法的实现（代码+算例） 1. Jacobi迭代代码

function [x,n]=jacbio(a,d,x)

stop=1.0e-4; %迭代的精度 L=-tril(a,-1); U=-triu(a,1); D=inv(diag(diag(a)));

X=D*(L+U)*x+D*d; % J迭代公式 n=1;

while norm(X-x,inf)>=stop % 时迭代中止否则继续 x=X;

X=D*(L+U)*x+D*d; n=n+1; end X n

2. Gauss－Seidel迭代代码

||δA||

function [x,n]=Gauss_Seidel_iterative(a,d,x) stop=1.0e-4; %迭代的精度 L=-tril(a,-1); U=-triu(a,1); D=(diag(diag(a)));

X=inv(D-L)*U*x+inv(D-L)*d; % G-S迭代公式 n=1;

while norm(X-x,inf)>= stop % 时迭代中止否则继续 x=X;

X=inv(D-L)*U*x+inv(D-L)*d; n=n+1; end X n

3. 松弛迭代(SOR)迭代代码

function [x,n]=successive(a,d,x)

stop=1.0e-4; %迭代的精度 w=1.44; %松弛因子 L=-tril(a,-1); U=-triu(a,1); D=(diag(diag(a)));

X=inv(D-w*L)*((1-w)*D+w*U)*x+w*inv(D-w*L)*d;% SOR迭代公 n=1;

while norm(X-x,inf)>=stop % 时迭代中止否则继续 x=X;

X=inv(D-w*L)*((1-w)*D+w*U)*x+w*inv(D-w*L)*d; n=n+1; end X n 4. 算法实例

4.1 jacbio迭代

a=[5 2 1;-1 4 2;2 -3 10]; >> x=[0;0;0]; >> d=[-12;20;3]; >> [x,n]=jacbio(a,d,x) X =[-4.0000;3.0000;2.0000] n =18

4.2 Gauss迭代

a=[5 2 1;-1 4 2;2 -3 10]; >> x=[0;0;0]; >> d=[-12;20;3];

>> [x,n]=Gauss_Seidel_iterative(a,d,x) X =[-4.0000;3.0000;2.0000] n = 8

4.3 SOR迭代

a=[5 2 1;-1 4 2;2 -3 10]; >> x=[0;0;0]; >> d=[-12;20;3]; >> [x,n]=jacbio(a,d,x) X =[-4.0000;3.0000;2.0000] n =482

六、 应用实例 1. 道路交通流量 2. 电网中的电流流量 3. 营养减肥食谱

七、 知识拓展

线性方程组是近似求解微分方程的基础，因而是人类揭示自然规律的基础；边界问题的内点个数决定着线性方程组的阶数，在实际问题中我们遇到的求解区域往往很大，如计算天气预报的大气层区域、

计算海洋动力的海域、计算油气储量的含油区域等等，为提高精度就要将网格划细，就意味着结点的增多。假如我们要计算100平方公里范围内的地下储油量（比实际小的多），正方形网格间距为100米，则有9801个内结点，需要求解9801阶方程组，为了精确将网格结点缩小为10米，则要求解近1亿阶的线性方程组。这就是巨型方程组的由来。 参考文献

[1]白峰杉，数值计算引论(第二版)：高等教育出版社，2010.11 [2]王萼芳、石生明，高等代数(第三版)：高等教育出版社，2007.3