6.2 统计量与经验分布函数

一、基本概念1. 统计量的定义设 X 1 , X 2 ,L, X n 是来自总体 X 的一个样本 ,g ( X 1 , X 2 ,L, X n ) 是 X 1 , X 2 ,L, X n 的函数 , 若 g中

不含未知参数 , 则称 g ( X 1 , X 2 ,L, X n ) 是一个统计量. 设 x1 , x2 ,L, xn 是相应于样本 X 1 , X 2 ,L, X n 的样本值 , 则称 g ( x1 , x2 ,L, xn ) 是 g ( X 1 , X 2 ,L, X n )

的观察值 .

实例1 实例 设 X 1 , X 2 , X 3 是来自总体 N ( µ ,σ 2 )的一个

样本 , 其中µ 为已知, σ 2 为未知, 判断下列各式哪 些是统计量 , 哪些不是 ? T1 = X 1 ,T2 = X 1 + X 2e ,X3

1 T3 = ( X 1 + X 2 + X 3 ), 3 T4 = max( X 1 , X 2 , X 3 ),

是

T5 = X 1 + X 2 2 µ ,不是

1 2 2 2 T6 = 2 ( X 1 + X 2 + X 3 ). σ

2. 几个常用统计量的定义设 X 1 , X 2 ,L, X n 是来自总体的一个样本 ,x1 , x2 ,L, xn 是这一样本的观察值 . 1 n (1) 样本平均值 X = ∑ Xi; n i =1其观察值

1 n x = ∑ xi . n i =1

(2) 样本方差 1 n 2 1 n 2 2 2 S = ∑ ( X i X ) = n 1 ∑ X i nX . n 1 i =1 i =1

其观察值

1 n 2 1 2 2 2 s = ∑ ( x i x ) = n 1 ∑ x i nx . n 1 i =1 i =1n

(3) 样本标准差

1 n 2 2 S= S = ∑ (Xi X ) ; n 1 i =1其观察值

s=

1 n ( xi x )2 . ∑ n 1 i =1

(4) 样本k 阶(原点 矩 样本 原点)矩 原点

1 n k Ak = ∑ X i , k = 1, 2, L ; n i =1

1 n k 其观察值 α k = ∑ x i , k = 1, 2, L . n i =1(5) 样本 阶中心矩 样本k

1 n Bk = ∑ ( X i X )k , k = 2, 3, L ; n i =1其观察值

1 n bk = ∑ ( x i x ) k , k = 2, 3, L . n i =1

2. 经验分布函数总体分布函数 F ( x ) 相应的统计量称为经验

分布函数 . 经验分布函数的做法如下: 经验分布函数的做法如下:

设 X 1 , X 2 ,L, X n 是总体 F 的一个样本 , 用 S ( x ) ( ∞ < x < +∞ )表示 X 1 , X 2 ,L, X n 中不大于

x 的随机变量的个数 , 定义经验分布函数 Fn ( x ) 为 1 F (x) = S(x), ( ∞< x < +∞) n n

对于一个样本值 , Fn ( x ) 的观察值容易求得 .( Fn ( x ) 的观察值仍以 Fn ( x ) 表示. )实例 设总体 F 具有一个样本值 1, 2, 3,x < 1,

则经验分布函数F3 ( x ) 的观察值为

F3 ( x ) =

0,

1 , 32 , 3

1 ≤ x < 2,2≤ x<3 x ≥ 3.

1,

实例 设总体 F 具有一个样本值 1, 1, 2,

则经验分布函数 F3 ( x ) 的观察值为

2 , F3 ( x ) = 3 1,

0,

x < 1,1≤ x < 2

x ≥ 2.

一般地， 一般地， 设 x1 , x2 ,L, xn 是总体 F 的一个容量为 n 样本值 ,

先将 x1 , x2 ,L, xn 按自小到大的次序排列 ,

并重新编号,

x(1) ≤ x( 2 ) ≤ L ≤ x( n ) , x < x( 1 ) ,

则经验分布函数 Fn ( x ) 的观察值为 F (x) = n 0,

k , n1,

x( k ) ≤ x < x( k + 1 ) , x ≥ x(n ) .

格里汶科定理对于任一实数 x , 当 n → ∞ 时, Fn ( x ) 以概率 1

一致收敛于分布函数 F ( x

) , 即

P lim sup Fn ( x ) F ( x ) = 0 = 1. n→ ∞ ∞ < x < +∞ 对于任一实数 x当 n 充分大 时, 经验分布函 数的任一个观察值 Fn ( x ) 与总体分布函数 F ( x )

只有微小的差别 , 从而在实际上可当作 F ( x ) 来

使用 .

三、直方图下面给出了84个伊特拉斯坎( 84个伊特拉斯坎 ) 例1 下面给出了84个伊特拉斯坎(Etruscan)人 男子的头颅的最大宽度( 男子的头颅的最大宽度(mm), 现在来画这些 ), 数据的“频率直方图” 数据的“频率直方图”.141 147 126 140 141 150 142 148 148 140 146 149 132 137 132 144 144 142 148 142 134 138 150 142 137 135 142 144 154 149 141 148 148 143 146 142 145 140 154 152 153 147 150 149 145 137 143 149 140 146 158 135 139 144 146 142 155 143 147 143 141 149 140 158 141 146 140 143 138 137 150 144 141 131 147 142 152 140 144 136 143 146 149 145

步骤： 步骤： 1. 找出最小值 找出最小值126, , 最大值158,现取区间 最大值 ， [124.5,159.5]; ; 2. 将区间[124.5,159.5]等分为 个小区间， 将区间[ 个小区间， , ]等分为7个小区间

小区间的长度记成 , = (159.5 124.5) / 7 = 5, 称为组距； 称为组距；3. 小区间的端点称为组限,数出落在每个小区 小区间的端点称为组限,间的数据的频数 f i , 算出频率 f i / n.

列表如下： 列表如下：组 限 124.5—129.5 129.5—134.5 134.5—139.5 139.5—144.5 144.5—149.5 149.5—154.5 154.5—159.5 频 数 1 4 10 33 24 9 3 频 率 0.0119 0.0476 0.1191 0.3929 0.2857 0.1071 0.0357 累计频率 0.0119 0.0595 0.1786 0.5715 0.8572 0.9524 1.0000

fi 现在自左向右依次在各 个小区间上作以 n 为高的小矩形 , 这样的图形叫频率直方图. 这样的图形叫频率直方图.