(新)曹广福版实变函数第二章习题解答(2)

n

n

i 1i 1

k 1

C A Q (A ) A C. 故A C.

又定义： :Q

， :Q , ( Oi) Oi, ( Oi) Oi

n

n

c

i 1

i 1

i 1

i 1

则 与 都是满射.所以 C Q (Q) Q C.即， C.同理， C.

记 时R 上的Borel集的全体.因集合的“差”运算可以化成“交”运算，例如：

A B A Bc .因此， 中的每个元都是 中可数元的并，交后而成.故

实变函数

C ( ) C.

n

从而， C.即，R 上Borel集的全体的势为C.

18.证明对任意的闭集F，都可找到完备集F1 F，使得mF1 mF.

19.证明：只要mE 0，就一定可以找到x E，使对 0，有m(E O(x, )) 0. 证明：设E Rn，mE 0.首先将Rn划分成可数边长为

1

的左开右闭的n维长方体 2

n

mimi 1mm 1{ (,)|mi Z}.则 1 {E (i,i)|mi Z}互不相交且至多可数.不

2222i 1i 1

妨记为 1 {Ek}k A1，A1 N.

因E 1 kEk，则mE

(1)k

n

(1)

(1)

mE

k

(1)

k

0.故 k1 N，有mEk1

(1)

0.又因

2 {E (

i 1

mimi 1

,2)|mi Z}互不相交且至多可数.故可记 2 {Ek(2)}k A2，其中 222

k

A2 N，又由，Ek(1) 2 kEk(2).故mEk(1) Ek(2) 0，所以， k2 A2 N，有mEk(2) 0.

j

kj

这样下去得一个单调递减的可测集列 E Ek0 Ek1 Ek2 ，其中： j N，

jkj 1

nn

mimi 1mimi 1mimi 1

F E [(,j)]，.记 [ (j,)] E [(,)] jjjjj

222i 12i 12i 12

n

(0)(1)(2)

E {E

故闭集列{Fj}j 1单调递减且 j N，0 m(Ekj) mFj 由闭集套定理， !x Fj.

j 1

(j)

12n

j

(

1j

) 0(j ). n2

对于 0，因mFj (

n

1j1j0

j N，取，使)() .则 0

2n2n

x Fj0 E [ (

i 1

mimi 1

,j0)] O(x, ) E，故m(E O(x, )) mFj0 0. j0

22

20.如果E R可测， 0，记 E {( x1, , xn)|(x1, ,xn) E}.证明： E也

n

n

可测，且m( E) mE.

证明：（1）先证：m*( E) m*E

n

实变函数

因为m*( E) inf{

|I

i 1

i

对于开长方体序列{In}i 1，| Ii E，Ii为开长方体}，

i 1

若 Ii E，则

i 1

1

i 1

Ii E，

1

i 1

Ii E也是开长方体序列，且m*E |

i 1

1

Ii|=

1

n

|I

i 1

i

|.即 m*E |Ii|.因此 m*E inf{ |Ii|

n

n

i 1i 1

i 1

Ii E，Ii为开长方

体}.

另一方面， 0，因为m*E inf{

|I

i 1

i

| Ii E，Ii为开长方体}.故存在开

i 1

*

长方体序列 |Ii| m*E n.所以 Ii E，故

i 1 i 1

*

m*( E) | Ii| n|Ii| nm*E .由 得任意性，知

*

*

i 1

i 1

m*( E) nm*E.从而m*( E) nm*E

（2）再证： E可测 事实上， T R，

n

1

11

T Rn，由E得可测性，m(T) m*(T E)

1111

m*(T CE).故，nm(T) nm*(T E) nm*(T CE).

因此m*T m*(T E) m*(T CE). E可测.

因此，当E可测时，m* E mE. 下面是外测度的平移不变性定理.

n

定理（平移不变性）设E R，x0 R，记E {x0} {x x0|x E}.则

n

n

m*(E {x0}) m*E

证明：当E是R中开长方体时E {x0}也是一个开长方体，且其相应的边均相同，故

n

m*(E {x0}) |E {x0}| |E| m*E.

如果E是R中的任意点集，对于E德任意由开长方体序列{Ii}i 1构成的覆盖，

n

{Ii {x0}}i 1也是E {x0}覆盖，且仍是开长方体序列，故m*(E {x0})

实变函数

|I

i 1

i

{x0}| |Ii|.所以m*(E {x0}) inf{ |Ii| Ii E，Ii为开长方体}=

i 1

i 1

i 1

m*E.即m*(E {x0}) m*E.

下证：m*E m*(E {x0})

令E1 E {x0}，由上面的证明知，m*(E1 { x0}) m*E1.所以

m*E m*(E1 { x0}) m*E1 m*(E {x0}).从而，m*(E {x0}) m*E.

21.设f(x) x，E R .是零测集，证明：f(E) f(x) x|x E}也是零测集.

2

2

证明：设E R ，mE 0

（1）当E (0,1)时， 0，当m*E 0，则存在开区间到{Ii ( i, i)}i 1

使得E ( i, i) (0,1)，且

i 1

|I

i 1

i

| ( i i)

i 1

2i

2

.故f(E) f( ( i, i))

i 1

i 1

( , ) (0,1).m*f(E) |f(Ii)| ( ) ( i i)( i i)

2i

2i

2i

i 1

i 1

i 1

2 ( i i) 2

i 1

2

.所以m*f(E) 0.