二次方程根的分布和二次函数在闭区间上的最值归纳

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二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳

2ax bx c 0根的分布情况 1、一元二次方程

设方程ax bx c 0 a 0 的不等两根为x1,x2且x1 x2，相应的二次函数为f x ax2 bx c 0，

2

方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）

表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）

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表二： (两根与 k 的大小比较)分 布 情 况

两根 小

k

两根 大

k

根小

k

大

k

x1 < k , x 2 < k

x1 > k , x 2 > k

x1 < k < x 2

大 致 图 象 (

k k k

a>0 )

得 出 的 结 论

>0 b <k 2a f (k ) > 0

>0 b >k 2a f (k ) > 0

f (k ) < 0

大 致 图 象 (

a<0 )

得 出 的 结 论

>0 b <k 2a f (k ) < 0 综 合 结 论 (不 讨 论

>0 b >k 2a f (k ) < 0

f (k ) > 0

a )

>0 b <k 2a a f ( k ) > 0

>0 b >k 2a a f ( k ) > 0

a f (k ) < 0

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需满足的条件是

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 m,n 外，即在区间两侧x1 m,x2 n，（图形分别如下）

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（1）a 0时，

f m 0 f m 0

； （2）a 0时，

f n 0 f n 0

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在 m,n 内有以下特殊情况：

1 若f m 0或f n 0，则此时f m f n 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，

可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 m,n 内，从而可以求出参数的值。如方程mx m 2 x 2 0

2

在区间 1,3 上有一根，因为f 1 0，所以mx2 m 2 x 2 x 1 mx 2 ，另一根为得

22

，由1 3

mm

2

m 2即为所求； 3

2 方程有且只有一根，且这个根在区间 m,n 内，即 0，此时由 0可以求出参数的值，然后再将参数

的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程

x2 4mx 2m 6 0有且一根在区间 3,0 内，求m的取值范围。分析：①由f 3 f 0 0即

14m 15 m 3 0得出 3 m 14；②由 0即16m2 4 2m 6 0得出m 1或m 2，当

m 1时，根x 2 3,0 ，即m 1满足题意；当m

综上分析，得出 3 m

153

33

时，根x 3 3,0 ，故m 不满足题意；22

15

或m 1 14

根的分布练习题

例1、已知二次方程 2m 1 x 2mx m 1 0有一正根和一负根，求实数m的取值范围。

2

解：由 2m 1 f 0 0 即 2m 1，从而得 m 1 0

1

m 1即为所求的范围。 2

例2、已知方程2x m 1 x m 0有两个不等正实根，求实数m的取值范围。

2

解：由

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0 2

m 1 8m 0

m 1 m 3 m 3 0

m 1

2 2m 0 m 0f 0 0

0 m 3

m 3

例3、已知二次函数y m 2 x2 2m 4 x 3m 3 与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。

解：由 m 2 f 1 0 即 m 2 2m 1 0 2 m

例4、已知二次方程mx 2m 3 x 4 0只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。

2

1

即为所求的范围。 2

解：由题意有方程在区间 0,1 上只有一个正根，则f 0 f 1 0 4 3m 1 0 m 求范围。

1

即为所3

（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在 0,1 内，由 0计算检验，均不复合题意，计算量稍大）

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2、二次函数在闭区间 m,n 上的最大、最小值问题探讨

设f x ax2 bx c 0 a 0 ，则二次函数在闭区间 m,n 上的最大、最小值有如下的分布情况：

（1）若

（2）若

另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小。

二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。

例1、函数f x ax 2ax 2 b a 0 在 2,3 上有最大值5和最小值2，求a,b的值。

2

解：对称轴x0 1 2,3 ，故函数f x 在区间 2,3 上单调。

3a b 2 5 a 1 f x max f 3 a 0（1）当时，函数f x 在区间 2,3 上是增函数，故 ； fx f2 2 b 2b 0 min

（2）当a 0时，函数f x 在区间 2,3 上是减函数，故

对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：

b

m,n ，则f x max max f m ,2a b

f ,f n ，f x min min f m , 2a b

f ,f n ； 2a

b

m,n ，则f x max max f m ,f n ，f x min min f m ,f n 2a

二次函数在闭区间上的最值练习

b 2 5 a 1 f x max f 2 fx f3 3a b 2 2 b 3 min

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例2、求函数f x x2 2ax 1,x 1,3 的最小值。 解：对称轴x0 a

（1）当a 1时，ymin f 1 2 2a； （2）当1 a 3时，ymin f a 1 a2； （3）当a 3时，ymin f 3 10 6a

改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？

解：（1）当a 2时，f x max f 3 10 6a； （2）当a 2时，f x max f 1 2 2a。

2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？

解：（1）当a 1时，f x max f 3 10 6a，f x min f 1 2 2a；

（2）当1 a 2时， f x max f 3 10 6a，f x min f a 1 a；

2

（3）当2 a 3时，f x max f 1 2 2a，f x min f a 1 a；

2

（4）当a 3时， f x max f 1 2 2a，f x min f 3 10 6a。

例3、求函数y x2 4x 3在区间 t,t 1 上的最小值。 解：对称轴x0 2

2

（1）当2 t即t 2时，ymin f t t 4t 3；

（2）当t 2 t 1即1 t 2时，ymin f 2 1；

2

（3）当2 t 1即t 1时，ymin f t 1 t 2t

例4、讨论函数f x x x a 1的最小值。

2

x2 x a 1,x a

解：f x x x a 1 2，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为

x x a 1,x a

2

直线x

111111

，x ，当a ， a ，a 时原函数的图象分别如下（1），（2），（3） 222222

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因此，（1）当a

1 1 3

时，f x min f a； 2 2 4

（2）当

11

a 时，f x min f a a2 1； 221 1 3

时，f x min f a 2 2 4

（3）当a