直角三角形的边角关系期末总复习(1)

b a

c

学习目标 : 通过复习进一步理解锐角三角形函数的概念，能熟练地应用sinA,cosA,tanA,cotA表示直角三角形(其中有一个锐角是A)中的两边的比，熟记30°,45°,60°角的各三角函数的数值，会计算含 有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三 角数值说出这个角。 理解直角三角形中边角之间的关系，会运用勾股定理，直角三角 形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角 三角形的有关知识来解某些简单的实际问题(包括一些能用直角 三角形解的斜三角形问题)从而进一步把数和形结合起来，培养 应用数学知识的意识。

问题导学:回顾本章知识点

知 识 要 点1. 锐角三角函数的定义cA α b B a

如图 Rt ABC中α为锐角cosα = b c cotα= b a

sinα= a c C tanα = a b

sinα是一个完整的符号，离开了α的正 弦没有意义

2. 30°,45°,60°角的三角比的值 锐角30° 45° 60°

sinα 1222 32

cosα 32 22 12

tanα33 1 3

cotα 3 1 33

3. 直角三角形边与角的关系c B a2+b2=c2 ( 2 )三边之间的关系： a b a (3)边角之间的关系： sinA=cosB=

A

(1)两锐角之间的关系： A+B=90°

C

c

cosA=sinB= b c

tanA= = cotB想 一 想?

a b

平方关系 sin2A+cos2A=1 倒数关系 tanA.cotA=1 cosA sinA cotA= 商数关系 tanA= cosA sinA

4. 解直角三角形的应用(1)坡度(也称坡比):坡面 的垂直距离h与水平距离L的比。 记作 i=h:L (i=tanα= h:L) A α (2)仰角：在视线与水 平线所成的角中，视线在 水平线上方的角叫仰角。 铅 俯角：在视线与水平 垂 线 线所成的角中，视线在水 平线下方的角叫俯角。L

C

hB

视线仰角 俯角

水平线 视线

在△ABC中，∠C=90°,AB=5,AC=3。求 SinA及∠A(精确到1°)B

解： C=90o5

C

3

BC AB AC 5 3 4 BC 4 sinA AB 5 o A A 532 2 2 2

15 在△ABC中，∠C=90°,AB=34,tanA= 8 。求

SinA及 △ABC的面积。解：

B

BC 15 t anA AC 8 可设BC 15x,则AC 8x 又 AC2 BC 2=AB2 2 2 (8x) (15x) 342

15x

x 0 x 2

AC 16 BC 30 BC 30 15 AB 34 17 1 1 △ABC的面积 AC BC 16 30 240 2 2 得，sinA

C

8x

A

已知：如图△ABC和△CDE为边长分别为2、1的等 边三角形，B、C、D在一直线上；求∠EBD的度数。 (精确到0.1度)解： 作EF CD,垂足为F

A? E

△ABC和△CDE是边长分别为 2、 1的等边三角形 3 2

EF也为中线，即 CF=FD=0.5 EF CE 2 CF 2 12 - 0.52 BF BC CF 2.5

B

C

F

D

3 EF 3 t an EBD 2 BF 2.5 5 EBD 19.1o

山顶上有一旗杆，在地面上一点A处测得杆顶B的仰角450, 杆底C的仰角300,已知旗

杆高BC=20米， 求山高CD。 (保留三个有效数字)

解：设CD=x; BC 20o

B

BD tan45 1, AD 即AD=BD=x 20C

CD 3 tan30 , AD 3 即AD也可表示为：AD= 3xo

┓

45° 30°

x 20 3x 得，x 27.3米, 即，山高CD约为27.3米。A

D

如图，∠B=90° ,∠D=35°, ∠ACB=50°, CD=5。求AB(保留三个有效数字)解：设AB=x,因 B 90o AB x , 即t an35o BD BD x BD t an35o AB x t an ACB , 即t an50o BC BC x BC t an50o BD-BC CD, 且CD=5 t anD x x - =5 o o t an35 t an50 1 1 x( - ) 5, 得x 8.49 o o t an35 t an50 即AB 8.49

D

C

B

A

合作探究:已知正比例函数y=kx(k>0)上的一点P,PA⊥x轴，直线 与x轴所夹锐角为α;根据下列条件分别求k和tanα y 。 y=kx (1)P点的坐标是(1,2)

POα A x

(2)P点的坐标是(2,3)(3)P点的坐标是(3,5) (1)P点的坐标是(2,7)

由此，你发现了什么规律？能证明这个规律吗？

当k<0时，又会有什么样的规律？

思考：直线y=k1x和直线y=k2x互相垂直，你认为 k1 、k2有什么关系？y P O Q y=k2x A x y=k1x

例1.已知：如图，BE⊥AC,CD⊥AB,∠ACB =45°,∠DCB=30°,DC=6, 求：BE的长。 例2.如图，已知∠ABC=135°,AD=DC, ∠DBC=45°,求∠ADB的正弦值。

1.下列说法正确的是( )A.为锐角则 0≤Sinα≤1

B. Cos30°+Cos30°=Cos60°C. 若tanA=Cot(90°-B)则∠A与∠互余 D. 若α1,α2为锐角，且α1α2则Cosα1Cosα2 2.已知0°<α<45° 则Sinα,Cosα的大小关系为( A. Sinα>Cosα C. Sinα≥Cosα B. Sinα<Cosα D. Sinα≤Cosα. )

3.在Rt△ABC中，∠C=90° 且tanA=

4.直角梯形ABCD中，AB∥CD,CD=10, ∠B=90°,∠C=30°则AB=( )

, 5.一个三角形的一边长为2,这边上的中线长为 1,另两边长之和为1+ 则这个三角形的面积为(6.面积相同的直角三角形中，斜边最小的三角形的一个 锐角的正切是( ) 7.k取什么值时，二次方程kx2-(k+2)x+k+1=6以 Sinα、Cosα为它的两个根。

)

训练反馈:1.α为锐角，若tanα=则sinα= cosα=

2.底角为30°的等腰三角形，底边长为4cm,则腰长 = ,面积= 。 3.Sin218°+Cos45°· tan25°· tan65°+Sin272° =。

4.已知：如图，AB=BC=3,AC=4,AD=DC,求CosA的值。

5.如图，已知△ABC,∠B=120°,AC=7,D, E分别是AC,AB上的点， AE=BC= ,∠EDC=60° sinA=

求四边形BCD的面积。