2.4.2等比数列的性质(1)

2.4.2等比数列的性质

一、旧知复习等差数列一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与 它的前一项的差都等于 同一个常数，那么这个 数列叫做等差数列 等比数列 一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与 它的前一项的比都等于 同一个常数，那么这个 数列叫做等比数列

定 义

符号 a a d n N n 1 n 语言

a n 1 an

q n N , q 0

通项 a a n 1 d n 1 公式

a n a1 q

n 1

例1:在等比数列{an}中，a3=20 ,q=2 ,求a6 ,an

解： =a q2=4a =20 a3 1 1

所以 a1=5

a6=a1

q5=5×32=160n 1

a an 1

a3=a1q2 , a6=a1q5 an=a1qn-16

q 83

3

所 以 a n a1 q

5 2

.

a6=8×20=160a an

q

n 3

2

n 3

还有其他方法吗想一想

3

an=20×2n-3=5×2n-1

证明设等比数列

a n 的首项为n 1

a 1 , 公比为 q ,m 1

则有 a n a 1 q 从而 an am q

, a m a1 q

n m

,即 a n a m q

n m

.

性质1 :设an , am为等比数列 an 中任意两项， 且公比为q,则an am qn m

.

注：运用此公式，已知任意两项， 可求等比数列中的其他项

设数列

a n 为等差数列，且

m , n , p , q N ,

若 m n p q,则 am an a p aq .

若 m n 2 p,则 am an 2a p.等比数列中有类似性质吗？??

想一想

探究一在等比数列{an}中，a2.a6=a3.a5是否成立？

a32=a1.a5是否成立?

你能得到更一般的结论吗？

思考 设等比数列 a 首项为 a , 公比为 qn 1

且 m , n , s , t N+ ,若m+n=s+tam,an,as ,at有什么关系

证明 则 a

n

a1q

n 1

, a m a1q2 m n 2

m 1

,要积极 思考哦

从而 a n a m a 1 q

同理可得 a s a t a 1 q2

s t 2

又因为 m n s t 所以 a m a n a s a t .

性质2:若等比数列{an}的首项为a1 ,公比q,且 且 m , n , s , t N+

若m+n=s+t ,则aman=asat若m n 2s, 则am an as .2

如果在a与b之间，插入一个数G,使a , G , b构成等比数列,G叫做a与b得等比中项

探究二已知等比数列{an}首项a1, 公比q,取出数列中的所有 奇数项，构成新的数列，是否还是等比数列？ 取出a1 , a4 , a7 , a11 …… 呢？

你能得到一般性结论吗？

性质2:在等比数列中，把序号成等差数列的项按 原序列出，构成新的数列，仍是等比数列

形成性训练1、在等比数列{an}中，已知a2 = 5,a4 = 10,则公比 q的值为________

2、 2与8的等比中项为G,则G的值为_______3、在等比数列{an}中，an>0, a2a4+2a3a5+a4a6=36, 那么a3+a5=_________

知新盖能 等比数列的常用性质 q 通项公式的推广：an=am· n-m (n, ______ 性质 m∈N*) 1 且 性质 若{an}为等比数列， k+l=m+n(k, am·n a l,m,n∈N*),则 ak·l=________ a

2 若{an},{bn}(项数相同)是等比数列， 1 an 性质 2 则{λan}(λ≠0), }, n}, n·n}, } { {a {a b { an bn 3 仍是等比数列

在等比数列{an}中距首、末两 性质 端等距离的两项的积相等，即 4 a1an=a2an-1=a3an-2=… 性质 在等比数列{an}中，序号成等 差数列的项仍成等比数列 5

课堂互动讲练

考点突破等比数列的性质

在解有关等比数列的问题时，要注意利用等比数列的性质，可以使问题变得简单、明了.例1

(1)已知{an}是等比数列，且an>0,a2a4+

2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于________. (2)等比数列{an}中，若a9=-2,则此数列前17项之 积为________.

(3)在等比数列中，若a2=2,a6=162,则a10= ________. (4)(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)已知各项均为正数 的等比数列{an}中，a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=( )

A.5 2 C.6

B.7 D.4 2

【思路点拨】 ①利用等比数列性质，若m+n=p +q,则aman=apaq. ②若{an}成等比数列，则am,am+n,am+2n,…仍 成等比数列.

【解析】 (1)由等比数列性质 a2a4=a2, 3 a4a6=a2, 5 把 a2a4+2a3a5+a4a6=25 化为 a2+2a3a5+a2=25 3 5 (a3+a5)2=25(an>0) a3+a5=5.

(2)由题意得 a1a2a3…a15a16a17 =(a1a17)· 2a16)· 3a15)· a9 (a (a …· =a17=(-2)17=-217. 9 (3)∵{an}为等比数列，∴a2,a6,a10 仍 成等比数列， ∴a2=a2a10, 6 a2 1622 6 ∴a10= = =13122. a2 2

(4)∵{an}成等比数列且 an>0, ∴a2=a1a7,a2=a2a8,a2=a3a9. 4 5 6 ∴a2a2a2=a1a7a2a8a3a9=a1a2a3·7a8a9=50. a 4 5 6 ∴a4a5a6=5 2.【答案】 (1)5 (2)-217 (3)13122 (4)A

等比数列的设法及求解

三个数成等比数列时，常设这三个数分别为 a, a aq,aq 或 ，a,aq; q2

四个数成等比数列时，常设这四个数分别为 a, a a aq,aq ,aq 或 3, ,aq,aq3(公比为 q2). q q2 3

例2

有四个实数，前三个数成等比数列，且它

们的乘积为216,后三个数成等差数列，且它们之和为12,求这四个数.

【思路点拨】

根据三个数成等比数列，可以设

a 三个数为q,a,aq;根据三个数成等差数列且它 们之和为 12,可以设三个数为 4-d,4,4+d.