二次函数y=ax^2+k的图像与性质

y=ax2 (a≠0) 图 象O

a>0 yO

a<0 y x

x

开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0 ,0) (0 ,0) 对称轴 y轴 y轴 当x<0时, 增 当x<0时， y随着x的增大而增大。 y 随着 x 的增大而减小。 减 当x>0时， 当x>0时， y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。 性 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 极值 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.

x ….. y=x2 …… y=x2+1 ……

-2 4

-1 1

0 0y8

1 1

2 4

…… ……

5

2

1

2

5

y=x2+1函数y=x2+1的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系? 函数y=x2+1的图 象与y=x2的图象 的形状相同吗?5

函数y=x2+1的图 象可由y=x2的图 象沿y轴向上平移 1个单位长度得到. 相同-10 -5

6

4

2

y=x2O-2

x

10

x y=x2 y=x2-2

….. …… ……

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

……

2

-1y8

-2

-1

2 ……

6

4

y=x2

2

-10

-5

O-2

5

x

10

y=x2-2

4

y2

y=-x2+3x

-10

-5

O-2

5

10

y=-x2 y=-x2-2

-4

-6

-8

函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的图象形 状相同 ，只是位置不同；当k>0时，函数y=ax2+k 的图象可由y=ax2的图象向 上 平移 k 个单位得到， 当k〈0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象 向 下 平移 |k|个单位得到。 上加下减

(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移 5 个单位得到；y=4x2-11的图象 下 平移 11个单位得到。 可由 y=4x2的图象向 (2)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 上平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象 向上 平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。 (3)将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4x2+3 。 将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。

10

y8

y=x2+1y=x2 y=x2-25

4

y2

y=-x2+35

6

4

-10

-5

O-2

x

10

2

y=-x2 y=-x2-2

-4-10 -5

O-2

x

10

-6

-8

当a>0时，抛物线y=ax2+k的开口 向上 ，对称轴 是 y轴 ，顶点坐标是(0,k),在对称轴的左侧，y随x的 增大而 减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 k ; 当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口 向下，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,k),在对称轴的左侧，y随x的 增大而 增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 k 。

(4)抛物线y=-3x2+5的开口 下 ，对称轴是 y轴 ， 顶点坐标是 (0,5) ,在对称轴的左侧，y随x的增大 而 增大 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 减小 ， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 5 。 (5)抛物线y=7x2-3的开口 上 ，对称轴是 y轴 ， 顶点坐标是 (0,-3) ,在对称轴的左侧，y随x的增大 而 减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值

等于 -3 。 6.二次函数y=ax2+k (a≠0)的图象经过点A(1,-1),B (2,5),则函数y=ax2+c的表达式为 y=2x2-3。若 点C(-2,m),D(n ,7)也在函数的图象上，则点C的坐 标为 (-2, 5) 点D的坐标为 ( 5 ,7) 或 ( 5 . ,7)

例1、分别说下列抛物线的开口方向，对称 轴、顶点坐标、最大值或最小值各是什么 及增减性如何？。 (1)y=-x2-3 (2)y=1.5x2+7

(3)y=2x2-1

(4) y= 2x2+3

例2 : 按下列要求求出二次函数的解析式：

(1)形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是(0,1)的抛物线解析式。

(2)对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3,且经过(1,2)的点的解析式，

二次函数y=ax2+k的性质y=ax2+k a >0 a <0

图象开口向上 开口向下

开口 对称轴 顶点 增减性

a的绝对值越大，开口越小 y轴 (0,k) 顶点是最低点有最小值 顶点是最高点有最大值 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减

(1)已知二次函数y=3x2+4,点A(x1,y1), B(x2,y2),

C(x3,y3), D(x4,y4)在其图象上,且x2< x4<0,0<x3< x1, |x2|>|x1|, |x3|>|x4|, 则 A.y1>y2>y3>y4 B.y2>y1>y3>y4 C.y3>y2>y4>y1 (B )

y2y1 y3 y4 x2 x4 x3 x1

D.y4>y2>y3>y1

(2)已知二次函数y=ax2+c ,当x取x1,x2(x1≠x2, x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等， 则当x取x1+x2时，函数值为 ( D) A. a+c B. a-c C. –c D. c

a (3) 函数y=ax2-a与y= ( a 0) x在同一直角坐标系中的图象可能是 ( A )

(4)、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和 二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的( B ) y yyy

o

x

o

x

o

x

o

x

A

B

C

D

1 2 (5) 一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线 y 5 x 3.5

运行，然后准确落入蓝筐内，已知蓝筐的中心离地面的 距离为3.05m。 1、球在空中运行的最大高度是多少米？ 2、如果运动员跳投时，球出手离地面的高度 为2.25m , 则他离篮筐中心的水平距离AB是多少？