27.2.1相似三角形的判定(第3课时)

27.2.1相似三角形的判定(3)

东兴市京族学校 蒋宏亮

知识回顾相似三角形的判定方法 平行于三角形一边的直线和其他两边相

交,所构成的三角形与原三角形相似; 三边成比例的两三角形相似. 两边成比例且夹角相等的两三角形相

似.

观 察

观察两副三角尺如图，其中同样角度(30°与 60°,或45°与45°)的两个三角尺大小可能不同 ，但它们看起来是相似的.一般地，如果两个三 角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？

一定相似

判定定理：两角分别相等的两个三角形相似。

用数学符号表示：∵ ∠A=∠A', ∠B=∠B'A A´

∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'B C B´ C´

(两个角分别对应相等的两个三角形相似)

例2 如图，Rt△ABC中，∠C=90 , AB=10,AC=8.E是AC上一点，AE=5, ED⊥AB,垂足为D.求AD的长。

o

解：∵ED⊥AB∴ ∠EDA=90° 又 ∠C=90°,∠A= ∠A, ∴ △AED ∽ △ABC AD AE AC AB

AC AE 8 5 AD 4 AB 10由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足 一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直 角三角形相似。

练 习1. 底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你 的结论. A A'

B 已知：等腰△ABC

C B' AB = AC 和等腰△A'B'C' ,A'B'=A'C' C'

且有∠B=∠B', 求证:△ABC∽△A'B'C' 证明：∵等腰三角形 AB=AC ∵等腰三角形 A'B'=A'C' ∵∠B=∠B', ∴∠B=∠C ∴∠B'=∠C'

∴∠C=∠C'

∴△ABC∽△A'B'C'

练 习 2. 如图，Rt△ABC中，CD是斜边上的高，△ACD和△CBD都 和△ABC相似吗？证明你的结论. △ACD∽△ABC △CBD∽△ABCC1 2

证明：∵∠ACB=∠ADC=90°

A

D

B

∵∠CDB=∠ACB=90° ∠B = ∠B = 90°

又∠ A = ∠ A=90°∴ △ACD∽△ABC

∴ △CBD∽△ABC

求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三 角形相似。已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。

求证：AC2=AD · AB

CD2=AD · DBC

A

D

B

C

A结论： ΔACD∽Δ

D

B

CBD

CD2=AD · DBAC2=AD · AB BC2=BD · AB

ΔACD ∽Δ ABC ΔBCD ∽Δ ABC

此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用.

思考：我们知道，两个直角三角形 全等可以用“HL”来判定，那么， 满足斜边和一条直角边成比例的两 个三角形相似吗?

已知:在Rt △ABC和Rt △A'B'C'中， ∠C=90°, ∠ C'=90 °,AB AC . A B A C A

A′

求证:Rt △ABC∽Rt △A'B'C'. 证明:AB AC 设 k. A B A C

B

C B′

C′

则AB kA B , AC kA C .

由勾股定理，得 BC AB 2 AC 2 , B C A B 2 A C 2 .BC B C

AB 2 AC 2 k 2 A B 2 k 2 A C 2 kB C k. B C B C B C ∴Rt

BC AB AC . B C

A B A C

△ABC∽Rt △A'B'C'.

(HL)定理：斜边的比等于一组直 角边的比的两个直角三角形相似。数学表达： ∵在Rt △ABC和Rt △A‘B’C‘中， ∠ C= ∠ C'= 90°,AB AC . A B A C ∴ Rt

A′ A

△ABC∽Rt △A'B'C'.

B

C B′

C′

A1 2B

A O

C

BA

CCD E

D

D O

A D EB

B

C

A

B

C

基本图形的形成、变化及发展过程：平行型. 旋转 ∽ 斜交型 . 特 殊 垂直型 平移 . 平移 . 特 殊 .

.

基础演练A’

1、下列图形中两个三角形是否相似？A

B

A

C

D A B

(1)

C B’ A’

C’

(2)D

A

E

E C

B

(3)

C

B’

C’

B

(4)

课堂小结三角形相似的识别方法有那些？方法1:通过定义

三个角对应相等 三边对应成比例

方法2:平行于三角形一边的直线。 方法3:三边对应成比例。(SSS)

方法4:两边对应成比例且夹角。(SAS)方法5:通过两角对应相等。(AA)

方法6:斜边直角边对应成比例

(HL)