第六章 连续时间信号与系统的复频域分析1连续时间信号的复频域分

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连续时间信号的复频域分析从傅里叶变换到拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换及其存在的条件 常用信号的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 单边拉普拉斯变换的性质 单边拉普拉斯变换的反变换

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一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换x(t) = eαt u(t) α >0的傅里叶变换？ 不存在! 不存在

将 x(t) 乘以衰减因子e σ t 乘以衰减因子e

F [ x(t )e

σt

] = ∫ x(t )e e ∞

∞

σt jωt

dt = ∫

∞ αt (σ + jω ) t e e dt 0

令 =σ + jω s若σ >α

=∫

∞ ( s α ) t e dt 0

1 = s α

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一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换推广到一般情况 σt

F [ x(t )e

] = ∫ x(t )e e ∞

∞

σt jωt

dt = ∫ x(t )e ∞

∞

(σ + jω ) t

dt

令s=σ +jω

= ∫ x(t )e dt = X ( s ) ∞

∞

st

定义： X ( s ) =

∫

∞

∞

x(t )e st dt

拉普拉斯正变换

对x(t)e-σ t求傅里叶反变换可推出 拉普拉斯反变换

1 σ + j∞ x(t ) = X ( s )e st ds 2 πj ∫σ j∞

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一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换拉普拉斯变换符号表示 拉普拉斯变换符号表示及物理含义 符号表示及 符号表示： 符号表示：

X ( s ) = L [ x ( t )]L

x ( t ) = L 1 [ X ( s )]

x (t ) ← → X ( s ) 物理意义： 物理意义： 信号x 可分解成复指数e 信号x(t)可分解成复指数est的线性组合 X(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。 s是复数称为复频率，X(s)称复频谱。

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二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件单边拉普拉斯变换X ( s ) = ∫ x(t ) e dt0 ∞ st

1 σ + j∞ st x(t ) = ∫σ j∞ X (s) e ds 2 πj关于积分下限的说明： 积分下限定义为零的左极限，目的在于分析 和计算时可以直接利用起始给定的0-状态。

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二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件单边拉普拉斯变换存在的条件 单边拉普拉斯变换存在的条件充要条件为：

∫

∞

∞

| x(t ) | e dt = C

σt

对任意信号x(t) ,若满足上式，则 x(t)应满足

lim x(t )et →∞

σt

=0

(σ>σ0)

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二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件单边拉普拉斯变换存在的条件 单边拉普拉斯变换存在的条件jω 收 左半平面 敛 右半平面 S平面

σ0

区

σ

σ>σ0称收敛条件

σ0称绝对收敛坐标

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例1 计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域。 计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域。 拉普拉斯变换的收敛域(1)u (t ) u (t τ )收敛域为全s平面

(2)u (t )(3)e 3t u (t )

σ > 0 σ > 3

(4)t u (t )(5)t , et t2

n

σ > 0

不存在∞

分析： 分析：求收敛域即找出满足或 lim x(t )e σt = 0t →∞

∫

∞

| x(t ) | e σt dt = C

的σ取值范围。

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三、常用信号的拉普拉斯变换 常用信号的拉普拉斯变换1. 指数型函数 eλ t u(t)L[e u (t )] = ∫λt∞ 0

同理：

e λt u (t )

e jω0t u (t )e(σ 0 + jω0 ) t

1 e e dt = s λ 1 L ← → s+λ 1 L ← → s jω 0λt stL

σ > λσ > λ

σ > 0 σ > 0

u (t ) ← →

1 s (σ 0 + jω 0 )

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三、常用信号的拉普拉斯变换 常用信号的拉普拉斯变换1. 指数型函数 eλ t u(t)e jω 0 t + e jω 0 t cos ω 0 t u (t ) = u (t ) 2← →L

正弦信号

1 1 1 s ( + )= 2 2 s + jω 0 2 s jω 0 s + ω0

σ > 0

e jω 0 t e jω 0 t sin ω 0 t u (t ) = u (t ) 2j← →L

ω0 1 1 1 ( )= 2 2 2 j s jω 0 s + jω 0 s + ω0

σ > 0

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三、常用信号的拉普拉斯变换 常用信号的拉普拉斯变换2. 阶跃函数 u(t)1 L[u (t )] = lim L[e u (t )] = λ →0 sλt

σ > 0或 Re( s ) > 0

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三、常用信号的拉普拉斯变换 常用信号的拉普拉斯变换3. δ (t), δ (t)( n)

L[δ (t )] = ∫ δ (t )e st dtL[δ (t )] = ∫ δ ' (t )e' ∞ 0 st

∞ 0

= 1

Re(s ) > ∞

d st dt = ( e ) t = 0 = s ds st

L[δ

(n)

(t )] = ∫ δ

∞ 0

(n)

(t )e

d n st n dt = ( 1) n (e ) t =0= s ds n

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三、常用信号的拉普拉斯变换 常用信号的拉普拉斯变换4. t 的正幂函数 t n,n为正整数t n st ∞ n ∞ n 1 st L[t n u (t )] = ∫ (t n )e st dt = (e ) 0 + ∫0 t e dt s s n ∞ n = ∫0 t n 1e st dt = L[t n 1u (t )] s s 根据以上推理,可得∞ 0

n n n 1 n 2 n 1 L[t u (t )] = L[t u (t )] = L[t u (t )] s s s n n 1 n 2 2 1 0 = L L[t u (t )] s s s s sn

t u (t ) ← →n L

n! , Re( s ) > 0 n +1 s

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e

λt

u (t )

← →L

1 s+λ 1 s λ

Re( s ) > λ Re( s ) > λ

e u (t )

λt

← →L

e

jω0t

u (t ) ← →L

1 s + jω 0 1 s jω 0

Re( s ) > 0

e

jω0t

u (t )

← →L

Re( s ) > 0

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cos ω 0 t u (t ) ← →L

s 2 s 2 + ω0

Re( s ) > 0

sin ω 0 t u (t )

← →L

ω0 2 2 s + ω01 sn

Re( s ) > 0 Re(s) > ∞ Re(s) > ∞

δ (t ) δ(n)

← →L

(t )

← →L

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u (t )

← →L

tu (t ) t n u (t )te λt

←L → ←L →← →L

1 s 1 s2 n! s n +1

Re( s ) > 0

Re(s) > 0 Re(s) > 0Re(s) > λ

u (t )

1 2 (s + λ )

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e e

σ 0t

cos ω 0 t u (t ) ← →L

s +σ0 (s + σ 0 ) + ω2 2 0

Re(s) > σ 0 Re(s) > σ 0

σ 0t

sin ω 0 tu (t )

← →L

ω0(s + σ 0 ) + ω2 2 0

t cos ω 0 tu (t ) t sin ω 0 tu (t )

← →L

s ω2

(s + ω2 2

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