北京市西城区2013高三上学期期末考试数学文试题(2)

b x

2

22

② 当b 0时，f (x)

(x b)

．

令f (x)

0，得x1

，x2 8分

f(x)和f (x)的情况如下：

．

故f(x)的单调减区间为( ,

， )；单调增区间为( 11分

③ 当b 0时，f(x)的定义域为D {x R|x ．

b x

2

22

因为f (x)

(x b)

0在D上恒成立，

故f(x)的单调减区间为( ,，(， )；无单调增区间．

13分

19．（本小题满分14分）

1 b

, a2（Ⅰ）解：依题意，得 2分 解得 a 2，b 1． 3分 所以 椭圆的方程为

x

2

4

y 1． 4分

2

（Ⅱ）证明：由于l//AB，设直线l的方程为y

12

x m，将其代入

x

2

4

y 1，消去y，

2

整理得2x 4mx 4m 4 0． 6分

设C(x1,y1)，D(x2,y2)．

22

16m2 32(m2

1) 0,

所以 x1 x2 2m, 8分

2

x1x2 2m 2.

证法一：记△OCM的面积是S1，△ODN的面积是S2． 由M(2m,0)，N(0,m)， 则S1 S2

12

|2m| |y1|

12

|m| |x2| |2y1| |x2|． 10分

因为 x1 x2 2m，

所以 |2y1| |2 (

12

13分 x1 m)| | x1 2m| |x2|，

从而S1 S2． 14分 证法二：记△OCM的面积是S1，△ODN的面积是S2．

则S1 S2 |MC| |ND| 线段CD,MN的中点重合． 10分 因为 x1 x2 2m， 所以

x1 x2

2

m，

y1 y2

212

1x1 x21

m m． 222

故线段CD的中点为(m,m)．

因为 M(2m,0)，N(0,m)， 所以 线段MN的中点坐标亦为(m,

12

m)． 13分

从而S1 S2． 14分

20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：r1(A) r3(A) r4(A) 1，r2(A) 1；c1(A) c2(A) c4(A) 1，c3(A) 1，

4

4

i

j

所以l(A)

r(A) c

i 1

j 1

(A) 0． 3分

（Ⅱ）证明：（ⅰ）对数表A0：aij 1(i,j 1,2,3, ,n)，显然l(A0) 2n．

将数表A0中的a11由1变为 1，得到数表A1，显然l(A1) 2n 4． 将数表A1中的a22由1变为 1，得到数表A2，显然l(A2) 2n 8． 依此类推，将数表Ak 1中的akk由1变为 1，得到数表Ak． 即数表Ak满足：a11 a22 akk 1(1 k n)，其余aij 1． 所以 r1(A) r2(A) rk(A) 1，c1(A) c2(A) ck(A) 1．

所以 l(Ak) 2[( 1) k (n k)] 2n 4k，其中k 0,1,2, ,n． 7分 【注：数表Ak不唯一】

（Ⅲ）证明：用反证法．

假设存在A S(n,n)，其中n为奇数，使得l(A) 0． 因为ri(A) {1, 1}，cj(A) {1, 1} (1 i n,1 j n)，

所以r1(A)，r2(A)， ，rn(A)，c1(A)，c2(A)， ，cn(A)这2n个数中有n个1，n个 1．

令M r1(A) r2(A) rn(A) c1(A) c2(A) cn(A)．

一方面，由于这2n个数中有n个1，n个 1，从而M ( 1)n 1． ① 另一方面，r1(A) r2(A) rn(A)表示数表中所有元素之积（记这n2个实数之积为；c1(A) c2(A) cn(A)也表示m， 从而M m2 1． ② m）

①、②相互矛盾，从而不存在A S(n,n)，使得l(A) 0．

即n为奇数时，必有l(A) 0． 13分