数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)(3)

4 x xk 1 xk

x x

k 1 k

22

x xk

1 2 xk 1 xk 4 x xk

x k 1 x x

k k 1

2

2

x xk 1 1 2 ， x xkk 1

3 x xk 1 3 x xk

4xk(x x) 4xkk 1 x x

k 1 k xk 1 xk

(x xk 1)

f(4)( )

(x xk)2(x xk 1)2 (x xk)2(x xk 1)2， 从而误差为R2(x)

4!h4

故R2(x) (x xk)(x xk 1) 。

16

2

2

24

试求三次样条函数S(x)，并满足条件：

,S (0.53) 0.6868； 1）S (0.25) 1.0000

2）S (0.25) S (0.53) 0。

[解]由h0 0.30 0.25 0.05，h1 0.39 0.30 0.09，h2 0.45 0.39 0.06，

数值分析第五版答案(李庆扬)

h3 0.53 0.45 0.08，及（8.10）式 j

hjhj 1 hj

, j

hj 1hj 1 hj

,(j 1, ,n 1)

可知， 1

h1h20.0990.062

， 2 ，

h0 h10.05 0.0914h1 h20.09 0.065

3 1

h30.084 ，

h2 h30.06 0.087

h0h10.0550.093

， 2 ，

h0 h10.05 0.0914h1 h20.09 0.065h20.063

，

h2 h30.06 0.087

3

由（8.11）式gj 3( jf[xj 1,xj] jf[xj,xj 1])(j 1, n 1)可知，

9f(x1) f(x0)5f(x2) f(x1)

g1 3( 1f[x0,x1] 1f[x1,x2]) 3[ ]

14x1 x014x2 x190.5477 0.500050.6245 0.5477

3 ( )

140.30 0.25140.39 0.309477576819279 3 ( ) 2.7541

14500149007000g2 3( 2f[x1,x2] 2f[x2,x3]) 3[

2f(x2) f(x1)3f(x3) f(x2)

]

5x2 x15x3 x2

。

20.6245 0.547730.6708 0.6245

3 ( )

50.39 0.3050.45 0.39276834634 256 3 463 3 ( ) 2.413

590056001000g3 3( 3f[x2,x3] 3f[x3,x4]) 3[

。

4f(x3) f(x2)3f(x4) f(x3)

]

7x3 x27x4 x3

40.6708 0.624530.7280 0.6708

3 ( )

70.45 0.3970.53 0.45

446334724 463 9 1181457 3 ( ) 2.0814

760078001400700

。从而

5

209 14 2.7541 1.0000 2.1112 m1 14

23 2m 2.413 2.4131）矩阵形式为： ，解得 2 5 5 1.7871 3m3 42.0814 0.6868 02 7 7

数值分析第五版答案(李庆扬)

m1 0.9078 n m 0.8278 2 ，从而S(x) [yj j(x) mj j(x)]。

j 0

0.6570 m3

2）此为自然边界条件，故

g0 3f[x0,x1] 3

f(x1) f(x0)0.5477 0.5000477

3 3 2.862；

x1 x00.30 0.25500f(xn) f(xn 1)0.7280 0.6708572

3 3 2.145，

xn xn 10.53 0.45800

gn 3f[xn 1,xn] 3

2 9 14

矩阵形式为： 0

0 0

n

005201423

255402

7

4

00

7

1

0

0 m0 2.862 m 12.7541

0 m2 2.413 ，可以解得

2.081m 43 3

7 m4 2.145 2

m0 m 1

m2 ，从而 m3 m 4

S(x) [yj j(x) mj j(x)]。

j 0

25、若f(x) C2[a,b]，S(x)是三次样条函数，证明

1） [f (x)]2dx [S (x)]2dx [f (x) S (x)]2dx 2 S (x)[f (x) S (x)]dx；

a

a

a

a

b

b

b

b

2）若f(xi) S(xi)(i 0,1, ,n)，式中xi为插值节点，且a x0 x1 xn b 则 S (x)[f (x) S (x)]dx S (b)[f (b) S (b)] S (a)[f (a) S (a)]。

ab

b

a

[f (x) S (x)]2dx 2 S (x)[f (x) S (x)]dx

a

ba

b

[f (x) S (x)]2 2S (x)[f (x) S (x)]dx

[解]1） {[f (x) S (x)] 2S (x)}[f (x) S (x)]dx

a

b

。

[f (x) S (x)][f (x) S (x)]dx [f (x)]2 [S (x)]2dx

a

a

bb

[f (x)]2dx [S (x)]2dx

a

a

bb

2）由题意可知，S (x) A,x a,b ，所以

数值分析第五版答案(李庆扬)

b

a

S (x)[f (x) S (x)]dx {S (x)[f (x) S (x)]}ba [f(x) S(x)]S(x)dx

a

ba

b

S (b)[f (b) S (b)] S (a)[f (a) S (a)] A [f (x) S (x)]dx S (b)[f (b) S (b)] S (a)[f (a) S (a)] A[f(x) S(x)]ba

S (b)[f (b) S (b)] S (a)[f (a) S (a)]

。

补充题：1、令x0 0，x1 1，写出y(x) e x的一次插值多项式L1(x)，并估计插值余项。

[解]由y0 y(x0) e 0 1，y1 y(x1) e 1可知，

L1(x) y0

x x0x x1x 1 1x 0 y1 1 e x0 x1x1 x00 11 0，

(x 1) e 1x 1 (e 1 1)x

f ( )e

(x x0)(x x1) x(x 1), 0,1 ， 余项为R1(x) 2!2

故R1(x)

1111 maxe maxx(x 1) 1 。

0 x 120 1248

2、设f(x) x4，试利用拉格朗日插值余项定理写出以 1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式。

[解]由插值余项定理，有

f(4)( )

R3(x) (x x0)(x x1)(x x2)(x x3)

4!，

4!

(x 1)x(x 1)(x 2) (x2 2x)(x2 1) x4 2x3 x2 2x4!

从而L3(x) f(x) R3(x) x4 (x4 2x3 x2 2x) 2x3 x2 2x。 3、设f(x)在 a,b 内有二阶连续导数，求证：

maxf(x) [f(a)

a x b

f(b) f(a)1

(x a (b a)2maxf (x)。

a x bb a8

f(b) f(a)

(x a)是以a，b为插值节点的f(x)的线性插值多项

b a

式，利用插值多项式的余项定理，得到：

f(b) f(a)1

f(x) [f(a) (x a)] f ( )(x a)(x b)，从而

b a2

[证]因为f(a)

数值分析第五版答案(李庆扬)

f(b) f(a)1

(x a)] maxf ( ) max(x a)(x b)

a x ba x bb a2a b

。

111

maxf ( ) (b a)2 (b a)2maxf (x)

a x b2a b48maxf(x) [f(a)

4、设f(x) x7 5x3 1，求差商f[20,21]，f[20,21,22]，f[20,21, ,27]和

f[20,21, ,28]。

[解]因为f(20) f(1) 7，f(21) f(2) 27 5 23 1 169， 所以f[20,21] f(22) f(4) 47 5 43 1 16705，

f[21,22]

1

2

f(2) f(1)

169 7 162，

2 1

f(4) f(2)16705 169

8268，

4 22

f[21,22] f[20,21]8268 162

f[2,2,2] 2702，

322 20

f(7)( )7!f(8)( )0018

f[2,2, ,2] 1，f[2,2, ,2] 0。

7!7!8!8!

1

7

5、给定数据表：i 1,2,3,4,5，

求4[解]

数值分析第五版答案(李庆扬)

57

N4(x) 4 3(x 1) (x 1)(x 2) (x 1)(x 2)(x 4)

660

1 (x 1)(x 2)(x 4)(x 6)180

，插值余项为

57

4 3(x 1) (x 1)(x 2) (x 1)(x 2)(x 4)

660

1 (x 1)(x 2)(x 4)(x 6)180

f(5)( )

R4(x) (x 1)(x 2)(x 4)(x 6)(x 7), 1,7 。

5!

6、如下表给定函数：i 0,1,2,3,4，

[解]构造差分表：

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