数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)(2)

0.59519934 2.1969765 2.217097 0.61531984

4、给出cosx,0 x 90 的函数表，步长h 1 (1/60) ，若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。

[解]设插值节点为x0 x x1 x0 h，对应的cosx值为y0,y1，函数表值为

0,1，则由题意可知，y0 0 项式为1(x) 0

11

10 5，y1 1 10 5，近似线性插值多22

x x0x x1

，所以总误差为 1

x0 x1x1 x0

R(x) f(x) 1(x) f(x) L1(x) L1(x) 1(x)

x x0x x1f ( )

(x x0)(x x1) (y0 0) (y1 1)

2!x0 x1x1 x0

x x0x x1cos

(x x0)(x x1) (y0 0) (y1 1), x0,x1 2x0 x1x1 x0

，从而

R(x)

x x0x x11

cos (x x0)(x x1) y0 0 y1 12x0 x1x1 x0

。

x x0x x1111

(x x0)(x x1) 10 5 10 5

22x0 x12x1 x0

1h2111111 10 5 10 5 6.94 10 5 10 5 3.47 10 5

2422144002225、设xk x0 kh,k 1,2,3，求maxl2(x)。

x0 x x2

数值分析第五版答案(李庆扬)

x0 x x3

maxl2(x) max

(x x0)(x x1)(x x3)

x0 x x3(x x)(x x)(x x)202123

[解] max

(x x0)(x x0 h)(x x0 3h)

x0 x x3(2h)h( h)1

max(x x0)(x x0 h)(x x0 3h)2h3x0 x x3

2

20

2

30

。

令

f(x) (x x0)(x x0 h)(x x0 3h)

x (3x0 4h)x (3x 8x0h 3h)x (x 4hx 3hx0)

3

20

2

，则

2

f (x) 3x2 2(3x0 4h)x (3x0 8x0h 3h2)，从而极值点可能为 2

2(3x0 4h) 4(3x0 4h)2 12(3x0 8x0h 3h2)

x

6

，又因为

(3x0 4h) 7h4 7 x0 h

33

f(x0

4 74 71 5 1

h) h h h ( 20)h3， 3333274 4 71 7 51

h) h h h (20 7)h3， 333327

4 74 h) f(x0 h)，所以 33

14 71110 773

f(x h) (20 7)h 。 033

3272h2h27

f(x0

显然f(x0

x0 x x3

maxl2(x)

6、设xj

n

(j 0,1, ,n)为互异节点，求证：

(k 0,1, ,n)；

k

1） xkjlj(x) x

j 0n

2） (xj x)klj(x) xk

j 0

(k 1,2, ,n)；

[解]1）因为左侧是xk的n阶拉格朗日多项式，所以求证成立。

2）设f(y) (y x)k，则左侧是f(y) (y x)k的n阶拉格朗日多项式，令y x，即得求证。

1

7、设f(x) C2 a,b 且f(a) f(b) 0，求证maxf(x) (b a)2maxf (x)。

a x ba x b8

数值分析第五版答案(李庆扬)

[解]见补充题3，其中取f(a) f(b) 0即得。

8、在 4 x 4上给出f(x) ex的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10 6，问使用函数表的步长h应取多少？

[解]由题意可知，设x使用节点x0 x1 h，x1，x2 x1 h进行二次插值，则

R2(x)

f ( )

(x x0)(x x1)(x x2)3!

插值余项为

e

[x (x1 h)](x x1)[x (x1 h)], x0,x2 6

，

令f(x) [x (x1 h)](x x1)[x (x1 h)] x3 3x1x2 (3x12 h2)x x1(x12 h2)，则f (x) 3x2 6x1x (3x12 h2)，从而f(x)的极值点为x x1

233h (1 )h (1 )h h，而 3339

h，故3

x0 x x2

maf(x)

e e4233e43

R2(x) maxf(x) h h，要使其不超过10 6，则有

6x0 x x26927

e43243e23.4863 6 2

h 10，即h 10 10 2 0.472 10 2。 2277.389e

9、若yn 2n，求 4yn及 4yn。

4

4 4 jj 4 yn (E I)yn ( 1) j Eyn ( 1) j yn 4 j

j 0j 0

4 1 4 2 4 3 4 4 4 [解] ( 1)0 y ( 1)y ( 1)y ( 1)y ( 1) 0 n 4 1 n 3 2 n 2 3 n 1 4 yn。 2n 4 4 2n 3 6 2n 2 4 2n 1 2n

4

4

4

j

16 2n 32 2n 24 2n 8 2n 2n 2n

数值分析第五版答案(李庆扬)

4 2(4 j) 2j

yn (E E)yn ( 1) Eyn

j E

j 0

44

j 4 2 jj 4 ( 1) Ey ( 1) n j j yn 2 j

j 0j 0

4 1 4 2 4 3 4 4 4 ( 1)0 y ( 1)y ( 1)y ( 1)y ( 1) 0 n 2 1 n 1 2 n 3 n 1 4 yn 2。 2n 2 4 2n 1 6 2n 4 2n 1 2n 2

4

4

4

j

1212

11

16 2n 2 32 2n 1 24 2n 2 8 2n 2 2n 2 2n 2

10、如果f(x)是m次多项式，记 f(x) f(x h) f(x)，证明f(x)的k阶差分。 kf(x)(0 k m)是m k次多项式，并且 m lf(x) 0（l为正整数）[证明]对k使用数学归纳法可证。 11、证明 (fkgk) fkgk 1 fk gk。 [证明]

(fkgk) fk 1gk 1 fkgk fk 1gk 1 fkgk 1 fkgk 1 fkgk (fk 1 fk)gk 1 fk(gk 1 gk) fkgk 1 fk gk

n 1

n 1

。

12、证明 fk gk fngn f0g0 gk 1 fk。

k 0

k 0

[证明]因为

f

k 0

n 1

k

gk gk 1 fk (fk gk gk 1 fk)

k 0

k 0

n 1

n 1n 1

[fk(gk 1 gk) gk 1(fk 1 fk)] (gk 1fk 1 fkgk) fngn f0g0

k 0

k 0

n 1

，故得证。

13、证明： 2yj yn y0。

j 0

n 1

[证明] yj ( yj 1 yj) yn y0。

2j 0

j 0

n 1n 1

14、若f(x) a0 a1x an 1xn 1 anxn有n个不同实根x1,x2, ,xn，证明

j 1

n

0 k n 2 0,

1。 f (xj) an,k n 1

n

xkj

[证明]由题意可设f(x) an(x x1)(x x2) (x xn) an (x xi)，故

i 1

数值分析第五版答案(李庆扬)

f (xj) an (xj xi)，再由差商的性质1和3可知：

i 1i j

n

f (x

j 1

n

xkj

j)

j 1

n

xkj

an (xj xi)

i 1

i jn

1k1(xk)(n 1)

，从而得证。 x[x1, ,xn]

anan(n 1)!

15、证明n阶均差有下列性质：

1）若F(x) cf(x)，则F[x0,x1, ,xn] cf[x0,x1, ,xn]；

2）若F(x) f(x) g(x)，则F[x0,x1, ,xn] f[x0,x1, ,xn] g[x0,x1, ,xn]。

F[x0,x1, ,xn]

j 0

n

F(xj)

(x

i 0i j

n

j

xi)

j 0

n

cf(xj)

(x

i 0i j

n

j

xi)

。

[证明]1）

c

j 0

n

f(xj)

(x

i 0i j

n

cf[x0,x1, ,xn]

j

xi)F(xj)

j 0n

F[x0,x1, ,xn]

j 0

n

f(xj) g(xj)

(x

i 0i j

n

n

j

xi)

(x

i 0i j

n

j

xi)

。

2）

j 0

n

f(xj)

(x

i 0i j

n

j

xi)

j 0

n

g(xj)

(x

i 0i j

f[x0,x1, ,xn] g[x0,x1, ,xn]

j

xi)

f(8)( )0

0。16、f(x) x x 3x 1，求f[2,2, ,2]，f[2,2, ,2] 8!8!

7

4

1

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