数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

数值分析第五版答案(李庆扬)

第一章 绪论（12）

1、设x 0，x的相对误差为 ，求lnx的误差。

[解]设x* 0为x的近似值，则有相对误差为 r*(x) ，绝对误差为 *(x) x*，从而lnx的误差为 *(lnx) (lnx*) (x*) 相对误差为 (lnx)

*

r

1*

x ， x*

*(lnx)

lnx*

lnx*

。

2、设x的相对误差为2%，求xn的相对误差。

*

[解]设x*为x的近似值，则有相对误差为 r绝对误差为 *(x) 2%x*，(x) 2%，

从而x的误差为 (lnx) (x) 相对误差为 (lnx)

*

r

n*n

x x*

(x) n(x)

**n 1

2%x 2n% x

*

*n

，

*(lnx)

(x)

*n

2n%。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：

*****x1 1.1021，x2 0.031，x3 56.430，x5 385.6，x4 7 1.0。

***[解]x1 1.1021有5位有效数字；x2 0.0031有2位有效数字；x3 385.6有4**位有效数字；x4 56.430有5位有效数字；x5 7 1.0有2位有效数字。

****4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中x1均为第3题所给,x2,x3,x4

的数。

***（1）x1； x2 x4

f *******

e*(x1 x2 x4) (x) (x) (x) (xk124) x

k 1 k [解]；

111

10 4 10 3 10 3 1.05 10 3

222

n

*

***

（2）x1x2x3；

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f***

e*(x1x2x3)

k 1 xk

n ********** (x) (xx) (x) (xx) (x) (xx) (x)k231132123

*

1[解] (0.031 385.6)1 10 4 (1.1021 385.6)1 10 3 (1.1021 0.031) 10 3；

222

0.59768 10 3 212.48488 10 3 0.01708255 10 3

213.09964255 10 3 0.21309964255

**

（3）x2。 /x4

*

f**

e*(x2/x4)

k 1 xk

n*

x21*** (x) (x) (x)k24**2 x4(x4)

[解]

110.031156.4611 3 3

10 3 10 10。 22

56.430222(56.430)(56.430)56.4611 3 5 10 0.88654 10(56.430)22

5、计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R允许的相对误差是多少？

4

*( (R*)3)

4[解]由1% r*( (R*)3) 可知，

43

(R*)33

444

*( (R*)3) 1% (R*)3 (R*)3 *(R*) 4 (R*)2 *(R*)， 33 3

1* *(R*)11**

1% 从而 (R) 1% R，故 r(R) 。 *

33300R

*

*

6、设Y0 28，按递推公式Yn Yn 1

1

783(n 1,2, )计算到Y100，若取100

）试问计算Y100将有多大误差？ 783 27.982（五位有效数字，

[解]令n表示Yn的近似值，e*(Yn) n Yn，则e*(Y0) 0，并且由

11

783可知， 27.982，Yn Yn 1 100100

1

n Yn n 1 Yn 1 (27.982 )，即

10012

e*(Yn) e*(Yn 1) (27.982 783) e*(Yn 2) (27.982 783) ，从

100100

n n 1

而e*(Y100) e*(Y0) (27.982 783) 783 27.982，

数值分析第五版答案(李庆扬)

而783 27.982

11

10 3，所以 *(Y100) 10 3。

22

7、求方程x2 56x 1 0的两个根，使它至少具有四位有效数字（783 27.982） [解]由x 28 783与783 27.982（五位有效数字）可知， 。 x1 28 28 27.982 55.982（五位有效数字）

而x2 28 783 28 27.982 0.018，只有两位有效数字，不符合题意。 但是x2 28

128 783

N 1N

1

1.7863 10 2。

55.982

8、当N充分大时，怎样求 [解]因为

N 1N

1

dx？ 1 x2

1

dx arctan(N 1) arctanN，当N充分大时为两个相近数相2

1 x

N 1)， arctanN，则N 1 tan ，N tan ，从而 减，设 arctan(

tan( )

tan tan (N 1) N1

2，

1 tan tan 1 N(N 1)N N 1

因此

N 1

N

11

dx arctan。 22

1 xN N 1

9、正方形的边长大约为100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2? [解]由 *((l*)2) l*)2] *(l*) 2l* *(l*)可知，若要求 *((l*)2) 1，则

(l)

**

*((l*)2)

2l*

111

，即边长应满足l 100 。

2002 100200

12

gt，假定g是准确的，而对t的测量有 0.1秒的误差，证明当t2

增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。

10、设S

[证明]因为 *(S) (

dS**

) (t) gt* *(t) 0.1gt*， dt

(S)

*r

*(S)

S*

gt* *(t)2 *(t)1 ，所以得证。 1t*5t**2g(t)2

11、序列 yn 满足递推关系yn 10yn 1 1(n 1,2, )，若y0 2 1.41（三位有效数字），计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

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y 2

[解]设n为yn的近似值， *(yn) n yn，则由 0与

yn 10yn 1 1

0 1.411*

(y) 10 2，n yn 10(n 1 yn 1)，即 可知， 0

2 n 10n 1 1

*(yn) 10 *(yn 1) 10n *(y0)，

11

从而 *(y10) 1010 *(y0) 1010 10 2 108，因此计算过程不稳定。

22

12、计算f (2 1)6，取2 1.4，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？

1(2 1)

6

，(3 22)3，

1(3 22)

3

，99 2。

[解]因为 *(f)

11

10 1，所以对于f1 ， 62(2 1)

e*(1) 1e*(1.4)

611 1 4 2

，有一位有效数字； 10 6.54 10 107

22(1.4 1)

对于2 (3 22)3，

11

e*(2) 2e*(1.4) 6(3 2 1.4)2 10 1 0.12 10 1 10 1，没有有效数

22

字；

对于3

1(3 22)

3

，

611 1 3

有一位有效数 10 2.65 10 10 2，4

22(3 2 1.4)

e*(3) 3e*(1.4)

字；

11

对于4 99 2，e*(4) 4e*(1.4) 70 10 1 35 10 1 101，没有

22

有效数字。

13、f(x) ln(x x2 1)，求f(30)的值。若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式ln(x x2 1) ln(x x2 1)计算，求对数时误差有多大？

[解]因为302 1 899 29.9833（六位有效数字）， *(x)

1

10 4，所以 2

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e*(1) (f1 )*e*(x)

1

10 4

(30 302 1)2，

1

11

10 4 0.2994 10 2

30 29.98332

e*(2) (f2 )*e*(x)

1

10 4

x x2 12。

1

11

10 4 0.8336 10 6

30 29.98332

x1 1010x2 1010

14、试用消元法解方程组 ，假定只有三位数计算，问结果是否

x1 x2 2可靠？

10101010 2

,x2 10[解]精确解为x1 10。当使用三位数运算时，得到

10 110 1

x1 1,x2 1，结果可靠。 15、已知三角形面积s

1

absinc，其中c为弧度，0 c ，且测量a，b，c22

的误差分别为 a …… 此处隐藏：3319字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……