数学人教A版选修2-2教材习题点拨：1.3 导数在研究函数中的应用

教材习题点拨

教材问题解答 (问题)

如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特征？

答：如果在某个区间上恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)在这个区间上是常数函数． (思考)

请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考某个区间上函数y＝f(x)的平均变化率的几何意义与其导数正负的关系．

f?x2?－f?x1?

答：函数y＝f(x)的平均变化率的几何意义是经过(x1，f(x1))，(x2，f(x2))两点直

x2－x1

线的斜率．

f?x2?－f?x1?

当导数为正值时，函数单调递增，平均变化率＞0；当导数为负值时，函数单

x2－x1

f?x2?－f?x1?

调递减，平均变化率＜0.

x2－x1

(问题)

如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？

答：如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，也可以求解本题，但运算过程相对麻烦，有时需要变形的很多技巧，特别是判断三次的多项式函数的单调性时，这种方法不是一种简便的方法，导数是研究函数单调性的工具，其方法具有普适性、通用性．

练习1

1．解：(1)因为f(x)＝x2－2x＋4，所以f′(x)＝2x－2. 当f′(x)＞0，即x＞1时，函数f(x)＝x2－2x＋4单调递增； 当f′(x)＜0，即x＜1时，函数f(x)＝x2－2x＋4单调递减． (2)因为f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1.

当f′(x)＞0，即x＞0时，函数f(x)＝ex－x单调递增； 当f′(x)＜0，即x＜0时，函数f(x)＝ex－x单调递减． (3)因为f(x)＝3x－x3，所以f′(x)＝3－3x2.

当f′(x)＞0，即－1＜x＜1时，函数f(x)＝3x－x3单调递增； 当f′(x)＜0，即x＞1或x＜－1时，函数f(x)＝3x－x3单调递减． (4)因为f(x)＝x3－x2－x，所以f′(x)＝3x2－2x－1.

1

当f′(x)＞0，即x＞1或x＜－时，函数f(x)＝x3－x2－x单调递增；

3

当f′(x)＜0，即－1

3＜x＜1时，函数f(x)＝x3－x2－x单调递减．

2．解：如图所示．

点拨：图象形状不唯一．

3．解：因为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b. (1)若a＞0，

f′(x)＞0，即x＞－b

2a时，函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)单调递增；

f′(x)＜0，即x＜－b

2a时，函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)单调递减．

(2)若a＜0，

f′(x)＞0，即x＜－b

2a时，函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)单调递增；

f′(x)＜0，即x＞－b

2a时，函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)单调递减．

4．证明：因为f(x)＝2x3－6x2＋7，所以f′(x)＝6x2－12x. 当x∈(0,2)时， f′(x)＝6x2－12x＜0，

因此函数f(x)＝2x3－6x2＋7在(0,2)内是减函数． 练习2

1．解：x2，x4是函数的极值点，其中x＝x2是函数y＝f(x)的极大值点，f(x)的极小值点．

2．解：(1)因为f(x)＝6x2－x－2，所以f′(x)＝12x－1. 令f′(x)＝12x－1＝0，得x＝

112

. 当x＞1

12时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；

当x＜1

12

时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．

x＝x4是函数y ＝1?1?1?2－1－2＝－49. 所以，当x＝时，f(x)有极小值，并且极小值为f?＝6×?12??12?121224(2)因为f(x)＝x3－27x， 所以f′(x)＝3x2－27.

令f′(x)＝3x2－27＝0，得x＝3或x＝－3. 下面分两种情况讨论：

①当f′(x)＞0，即x＞3或x＜－3时； ②当f′(x)＜0，即－3＜x＜3时． 当x变化时， f′(x), f(x)变化情况如下表：

x f′(x) f(x) (－∞，－3) ＋ 单调递增 －3 0 54 (－3,3) － 单调递减 3 0 －54 (3，＋∞) ＋ 单调递增 因此，当x＝－3时，f(x)有极大值，并且极大值为54； 当x＝3时，f(x)有极小值，并且极小值为－54. (3)因为f(x)＝6＋12x－x3，所以f′(x)＝12－3x2. 令f′(x)＝12－3x2＝0，得x＝2或x＝－2. 下面分两种情况讨论：

①当f′(x)＞0，即－2＜x＜2时； ②当f′(x)＜0，即x＞2或x＜－2时． 当x变化时，f′(x), f(x)变化情况如下表：

x f′(x) f(x) (－∞，－2) － 单调递减 －2 0 －10 (－2,2) ＋ 单调递增 2 0 22 (2，＋∞) － 单调递减 因此，当x＝－2时，f(x)有极小值，并且极小值为－10； 当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为22. (4)因为f(x)＝3x－x3，所以f′(x)＝3－3x2. 令f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝1或x＝－1. 下面分两种情况讨论：

①当f′(x)＞0，即－1＜x＜1时； ②当f′(x)＜0，即x＞1或x＜－1时． 当x变化时，f′(x), f(x)变化情况如下表：

x f′(x) f(x) (－∞，－1) － 单调递减 －1 0 －2 (－1,1) ＋ 单调递增 1 0 2 (1，＋∞) － 单调递减 因此，当x＝－1时，f(x)有极小值，并且极小值为－2； 当x＝1时，f(x)有极大值，并且极大值为2. 练习3

解：(1)我们知道，在[1,2]上，函数f(x)＝6x2－x－2无极大值和极小值．因为f(1)＝3，f(2)＝20，所以函数f(x)＝6x2－x－2在[1,2]上的最大值是20，最小值是3.

(2)我们知道，在[－3,3]上，函数f(x)＝x3－27x无极大值和极小值．因为f(－3)＝54，f(3)＝－54，所以函数f(x)＝x3－27x在[－3,3]上的最大值是54，最小值是－54.

13?－1?＝55，－，1?上，(3)我们知道，在?函数f(x)＝6＋12x－x无极大值和极小值．因为f?3??3?27155

－，1?上的最大值是17，最小值是. f(1)＝17，所以函数f(x)＝6＋12x－x3在??3?27

(4)我们知道，在[1,2]上，函数f(x)＝3x－x3无极大值和极小值．因为f(1)＝2，f(2)＝－2，所以函数f(x)＝ 3x－x3在[1,2]上的最大值是2，最小值是－2.

习题1.3

A组

1．解：(1)因为f(x)＝－2x＋1，所以f′(x)＝－2＜0.因此，函数f(x)＝－2x＋1是单调递减函数．

ππ

0，?，所以f′(x)＝1－sin x＞0, x∈?0，?.因此，函数f(x)(2)因为f(x)＝x＋cos x，x∈??2??2?π

0，?是单调递增函数． ＝x＋cos x，x∈??2?

(3)因为f(x)＝－2x－4，

所以f′(x)＝－2＜0.因此，函数f(x)＝－2x－4是单调递减函数． (4)因为f(x)＝2x3＋4x，

所以f′(x)＝6x2＋4.由于f′(x)＝6x2＋4＞0， 因此函数f(x)＝2x3＋4x是单调递增函数． 2．解：(1)因为f(x)＝x2＋2x－4，所以f′(x)＝2x＋2. 当f′(x)＞0，即x＞－1时， 函数f(x)＝x2＋2x－4单调递增； 当f′(x)＜0，即x＜－1时， 函数f(x)＝x2＋2x－4单调递减． (2)因为f(x)＝2x2－3x＋3， 所以f′(x)＝4x－3. 3

当f′(x)＞0，即x＞时，

4

函数f(x)＝2x2－3x＋3单调递增；

3

当f′(x)＜0，即x＜时，

4

函数f(x)＝2x2－3x＋3单调递减．

(3)因为f(x)＝3x＋x3，所以f′(x)＝3＋3x2＞0.因此，函数f(x)＝3x＋x3是单调递增函数． (4)因为f(x)＝x3＋x2－x， 所以f′(x)＝3x2＋2x－1.

1

当f′(x)＞0，即x＞或x＜－1时，函数f(x)＝x3＋x2－x单调递增；

31

当f′(x)＜0，即－1＜x＜时，函数f(x)＝x3＋x2－x单调递减．

33．解：(1)

(2)加速度为0.

4．解：(1)在x＝x2处，导函数y＝ f′(x)有极大值； (2)在x＝x1和x＝x4处，导函数y＝ f′(x)有极小值； (3)在x＝x3处，函数y＝f(x)有极大值； (4)在x＝x5处，函数y＝f(x)有极小值．

5．解：(1)因为f(x)＝6x2＋x＋2，所以f′(x)＝12x＋1. 1

令f′(x)＝12x＋1＝0，得x …… 此处隐藏：1915字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……