球盒模型的概率问题(5)

m所以数学期望为EX?mnn?m?1,由EX??kP?X?k?

k?1实际上，(4.10)等价于下列Vandermode卷积公式:

另外，由数学期望的定义得

因此

??m??n由分布律P(X?k)??k????k??11????直接用数学期望的定义2.2.3得

????m?n??????

例如，当n=5,m=3时，(4.11)左右两边都等于105. 现在，以另一种方法研究随机变量X

由容斥原理得

一般地

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因此

也就是，对任意m(k≤m≤n)，有下列恒等式成立

例如，当n=5,k=2时，对任意的2 ≤ m ≤ 5，等式左边右边都等于4。 4.4 n个全部相同的球放入m个全部相同的盒子的情况

整数分拆问题是一个古老而又十分有趣的问题。所谓整数的分拆，就是把一 个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，便是这个自然数 的一个分拆。整数分拆的要求通常是将一个自然数拆成两个(或两个以上)自然 数的和，并使这些自然数的积最大(或最小);或拆成若干个连续自然数的和等 等。

随机变量X表示放球过程中有球的盒子数

问题4:n个全部相同的球放入m个全部相同的盒子，放球的过程中允许有空 盒，随机变量x表示放球过程中有球的盒子数，求x的数学期望E(X) o

因为随机变量X是表示放球过程中有球的盒子数，所以相当于n个全部相同 的球放入x个全部相同的盒子，求无空盒的放法数，即为正整数n的无序分拆。先 求随机变量X的分布律为

所以X的数学期望为

显然有恒等式

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即变形为恒等式

概率论为我们证明组合恒等式提供了更好的方法，从概率论的角度看待问题往往能使问题简化，它将在证明组合恒等式方面得到越来越广泛的应用。在数学各分支中，不少组合恒等式往往不是显而易见的，其证明有一定的难度，这就使它们的应用受到限制。若能对一些重要而又复杂的组合恒等式给以证明，则会给其应用带来不少方便。

5 结论与展望

5.1 论文总结

所谓球盒模型，就是将n个球放到m个盒子里，依据球和盒子是否有区别以 及是否允许空盒而存在23= 8种状的及基础上建立有关的概率模型，利用求概率或 求数学期望的方法，对组合恒等式进行证明。古典概型是概率的基础，鉴于古典 概率问题中，计数常常涉及组合数，使得用构造随机试验，利用概率模型来诊释、 证明某些组合恒等式。通过构造概率模型，证明一些重要的组合恒等式，并将之 拓展，使概率证法在证明组合恒等式中得到充分体现。用概率证明组合恒等式的 主要思路是:针对所要证明的组合恒等式构造出适当的概率模型，求出该模型中 有关事件的概率然后根据概率的一些性质推出应有的结论。在解决一些组合恒等 式时，构造概率模型后，从不同的角度考虑其概率或随机变量的数字特征，即可 证明组合恒等式，并利用这些性质发现新的组合恒等式和用本方法证明己有的恒 等式。从概率论的角度看待问题往往能使问题简化，概率论为我们证明组合恒等 式提供了更好的方法。综上所述，只要我们概率模型构造得当，在求出某些事件 的概率后，直接利用概率的有关性质便可推出一些组合恒等式。

除了上述一些方法，还可用其他概率论方法证明组合恒等式，比如用Banach 问题的推广结论去证明组合恒等式等。概率论在证明组合恒等式方面将得到越来 越广泛的应用。从不同角度观察、解释一个组台恒等式，联想不同的数学分支， 常可给出种种证法。其中数学归纳法、待定系数法、母函数法、复数法及递推法 等均较为常见。

组合恒等式的概率证法思维灵活、背景生动、表述简洁、效率甚高。要熟练 地掌握这种证法，必须弄清知识的客观背景，了解知识的来龙去脉，掌握知识的 内部联系，编织知识的结构网络，抓住问题的特征及解决问题的关键。这类问题 是培养、提高观察能力、灵活的变形能力、丰富的联想能力及综合性解题能力的 良好题材，对提高解决实际问题的能力均大有裨益。 5.2 问题与展望

本文虽然详细研究了n个球放到m个盒子里，依据球和盒子是否有区别以及是否允

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许空盒而存在2= 8种状的及基础上建立有关的概率模型，利用求概率或求数文章也存在一些不足之处和一些需要进一步解决的问题，主要是:1、对第四章中得到的结果，由于计算的复杂性和时间关系，没有过多的实际应用的例子，这是一件非常遗憾的事情2、对已得的结果中，有许多因表达式过于复杂而难以付诸应用，发展有效的算法或给出一

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些实际应用的实例也是有重要意义的。3研究的球盒模型中，适当变换放球的条件，或者设置各种放球的条件，本文所进一步研究是非常有必要的。4、对于球盒模型的其他情况，把组合数学与概率充分联系起来的知识，比如更深层次的Stirling number、随机占用模型等等都尚待研究。 …… 此处隐藏：343字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……