概率论与数理统计答案第六章

第六章 样本及抽样分布

1.[一] 在总体N（52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X落在50.8到53.8之间的概率。 解：

6.321.2X?521.8X~N(52,),P{50.8?X?53.8}?P{???}6.36.36.336666

12?8??()??()?0.8293772.[二] 在总体N（12，4）中随机抽一容量为5的样本X1，X2，X3，X4，X5. （1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。 （2）求概率P {max (X1，X2，X3，X4，X5)>15}. （3）求概率P {min (X1，X2，X3，X4，X5)>10}.

????????1?5??X?12?X?12解：（1）P{|X?12?1}?P?????2P??

2?44?4?????55?5???? =2[1??(5)]?0.2628 2（2）P {max (X1，X2，X3，X4，X5)>15}=1－P {max (X1，X2，X3，X4，X5)≤15} =1??i?155P{Xi?15}?1?[?(15?125)]?0.2923. 2（3）P {min (X1，X2，X3，X4，X5)<10}=1－ P {min (X1，X2，X3，X4，X5)≥10} =1??P{Xi?1i?10}?1?[1??(10?125)]?1?[?(1)]5?0.5785. 24.[四] 设X1，X2…，X10为N（0，0.3）的一个样本，求P{2

?Xi?1102i?1.44}.

解：

?i?110Xi20.3~χ(10),P{22?i?110Xi2?1.44}?P{?0.3i?110Xi22?16}?0.1(查表5)

7．设X1，X2，…，Xn是来自泊松分布π (λ )的一个样本，X，S2分别为样本均值和样本方差，求E (X), D (X), E (S 2 ).

解：由X~π (λ )知E (X )= λ ，D(X)??

∴E (X)=E (X )= λ, D (X)=

D(X)λ?,E(S2)?D(X)?λ. nn[六] 设总体X~b (1,p)，X1，X2，…，Xn是来自X的样本。 （1）求(X1,X2,?,Xn)的分布律； （2）求

?Xi?1ni的分布律；

（3）求E (X), D (X), E (S 2 ). 解：（1）（X1，…，Xn）的分布律为

P{X1?i1,X2?i2,?,Xn?in}独立?k?1nP{Xk?ik}?n??k?1nPik(1?P)1?ik

=P（2）

?nikk?1(1?P)?iki?1n,ik?0或1,k?1,?,n.

?Xi?1ni~b(n,p)

(由第三章习题26[二十七]知) （3）E (X)=E (X )=P，

D(X)P?nn

E(S2)?D(X)?P(1?P)D(X)?[八]设总体X~N（μ，σ2），X1，…，X10是来自X的样本。 （1）写出X1，…，X10的联合概率密度（2）写出X的概率密度。 解：（1）(X1，…，X10)的联合概率密度为

f(x1,?x10)??f(xi)??i?1i?1101012???n2e?(xi??)22?2

?(2?)（2）由第六章定理一知

?en?i?1?(xi??)22?2n

1

2σX～N(μ,),n?10 n即X的概率密度为

fX(z)?1σ2π?n

e?n(z?μ)22σ2

第七章 参数估计

1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S2。

解：μ，σ的矩估计是 S2?6.86?10?6。

2．[二]设X1，X1，…，Xn为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。

2

1n??X?74.002,????(Xi?x)2?6?10?6 ?ni?12?θcθx?(θ?1),x?c（1）f(x)??

0,其它?其中c>0为已知，θ>1，θ为未知参数。

??θxθ?1,0?x?1（2）f(x)??

?0,其它.?（5）P(X?x)?解：（1）E(X)?得θ?其中θ>0，θ为未知参数。

??pmxx(1?p)m?x,x?0,1,2,?,m,0?p?1,p为未知参数。

?????xf(x)dx????cθcθ?θ?1θcθcθcxdx?c?,令?X，

θ?1θ?1θ?1θ?θX X?c（2）E(X)??????xf(x)dx??10θxθdx?θθX2,令?X,得θ?()

1?Xθ?1θ?1

2

（5）E (X) = mp 令mp = X，

??解得pX m3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数

L(θ)??i?1nf(xi)?θncnθ(x1x2?xn)?θ?1

nndlnL(θ)θlnL(θ)?nln(θ)?nθlnc?(1?θ)lnxi,??nlnc?dθni?1??lnxi?1i?0

θ??n?lnxi?1n （解唯一故为极大似然估计量）

i?nlnc（2）L(θ)??f(x)?θii?1nn?n2(x1x2?xn)θ?1?n,lnL(θ)?ln(θ)?(θ?1)lnxi

2i?1?ndlnL(θ)?n11???dθ2θ2θ计量。

（5）L(p)?n?i?1??(nlnxi?0,θ?lnx)ii?1nn2。(解唯一)故为极大似然估

?i?1n?m??m??i?1P{X?xi}??(1?p)?x?????x??p?1??n?ximn??xii?1n，

lnL(p)??ln????xmxii?1i?1nilnp?(mn?n?x)ln(1?p),

ii?1ndlnL(p)?dp?xi?1nimn???xi?1ipni1?p?0

?x解得 p?i?2mn?X，（解唯一）故为极大似然估计量。 m4．[四(2)] 设X1，X1，…，Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。

解：（1）矩估计 X ~ π (λ )，E (X )= λ，故λ?=X为矩估计量。

3

（2）极大似然估计L(λ)?n?i?1nnP(xi;λ)?λi?1e?nλ，

x1!x2!?xn!?xinlnL(λ)??xlnλ??lnx!?nλ

iii?1i?1dlnL(λ)?dλ?xi?1niλ?n?0,解得λ??X为极大似然估计量。

λxi?λe,xi?0,1,?) （其中p(xi;λ)?P{X?xi}?xi!5．[六] 一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率。求p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下

样品中属石灰石的石子数 观察到石灰石的样品个数 0 0 1 1 2 6 3 7 4 5 6 7 8 3 9 1 10 0 23 26 21 12 解：λ的极大似然估计值为λ?=X=0.499 [四(1)] 设总体X具有分布律 X 1 Pk θ2 2 2θ(1－θ) 3 (1－θ) 2 其中θ(0<θ<1)为未知参数。已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。

解：（1）求θ的矩估计值

E(X)?1?θ2?2?2θ(1?θ)?3(1?θ)2

?[θ?3(1?θ)][θ?(1?θ)]?3?2θ 令E(X)?3?2θ?X

3?X? 则得到θ的矩估计值为θ??2（2）求θ的最大似然估计值

3?1?2?153?

26

4