西工大计算方法试题06-10（含答案）(2)

2007-2008第一学期

1 填空（15分）

**x?9.2270x121） 设近似数，?0.8009都是四舍五入得到的，则相对误差**er(x1x2)? ______

2）拟合三点A(3,1), B(1,3)，C(2,2)的平行于y轴的直线方程为 ____.

*3) 近似数x?0.0351关于真值x?0.0349有 _____ 位有效数字.

4） 插值型求积公式

?1?1f(x)dx??Akf(xk)k?1n?1至少有______次代数精确度.

5) Simpson(辛浦生)求积公式有______次代数精确度.

32y?x?2.89y?2.4x?0.51x在点（1.6,6.9）附近相切，2.（10分）已知曲线 与?5?4x?x?10xn?1n试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值n?1，当误差小于10时停

止迭代。

2y?ax?blnx中的常数a和b，使得该函数曲线3．（10分）用最小二乘法确定

拟合于下面四个点 (1，2.01), (2，7.3), (3,16.9), (4,30.6) (计算结果保留

到小数点后4位)

?232???A??1034??361???的按模最大的特征值?1的第k次近似4.(10分) 用乘幂法求矩阵

(k)()1k?(k)(k)T????0.1?xu?(1,2,1)11值1及相应的特征向量1。要求取初始向量0，且。

5．（10分）设有方程组

?a13??x1??b1??1a2??x???b????2??2????32a????x3????b3??(a?0)

写出与Jacobi迭代法对应的Gauss-Seidel方法的迭代格式； Jacobi方法的迭代矩阵为：

当参数a满足什么条件时，Jacobi方法对任意的初始向量都收敛。 6．（10分）已知四阶连续可导函数y?f(x)的如下数据：

xi f(xi) 1 0 2 5 f'(xi) 1 10 ''p(x)?f(x),p(x)?f(xi)的三次插值多项式p(x)，iii试求满足插值条件并写出截

断误差R(x)?f(x)?p(x)的导数型表达式（不必证明）。

17．（15分）设有积分

1）取7个等距节点（包括端点1和2），列出被积函数在这些节点上的函数值表（小数点后至少保留4位）；

2）用复化simpson公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小。 8．（10分） 给定初值问题

I??x3exdx2y2y??0,x'y(1)?1,1?x?1.4

写出欧拉（Euler）预估-校正的计算格式； 取步长h?0.2，求y(1.4)的近似值。 9．（10分）

用迭代法的思想证明：

lim2?2?k???2?2 （等号左边有k个2）。

参考答案：

1: (1)6.78×10－5, (2) x=2 (3) 2 （4）n-2 (5) 3

222. 切线斜率相等：3x?4.8x?0.51，3x?4.8x－0.51?0

牛顿迭代格式：

xn?123xn?4.8xn－0.51?xn?6xn?4.8

,x2?1.70002,x3?1.70000,x4?1.70000 取x0?1.6，得x1?1.70625?a?2.01?4a?bln2?7.3???9a?bln3?16.9?3. 矛盾方程组：?16a?bln4?30.8

34.84081?354??a??672.91????34.840813.60921????b?????66.04713??????? 正则方程组：

a?1.9997,b??1.0042

4. 取初始向量V(0)?(121)，用乘幂法公式进行计算，且取

T?(k)1V1(k?1)?(k)V1，得

?1?11.0，x?V(4)?(13516,27032,20226)T

5.(1)迭代格式为

?(k?1)1(k)(k)x?b?x?3x1123?a??(k?1)1(k)?b2?x1(k?1)?2x3?x2a??(k?1)1(k?1)(k?1)x?b?3x?2x3312?a? (2)Jacobi迭代法的迭代矩阵为

13?????0?aa??12BJ???0???aa??3?2?0??aa??

????????I?BJ?(3)

.由??BJ??1得

1a3?a1a?2a3a2?24????2a?a?????

??BJ??谱半径

2a

此时Jacobi迭代法对任意初始向量都收敛.

f(4)(?)p(x)?x?2x?1,R(x)?f(x)?p(x)?(x?1)2(x?2)2,?(x)?(1,2)4!6.

3a?27．20.2174

R(f)?0.0048

8．（1）Euler预-校法的计算格式为

(0)?yn?yn?hf(xn,yn)??1?h(0)y?y?f(xn,yn)?f(xn?1,yn?n?1n?1)2?

??y2h?0.2,f(x,y)?x 代入，则 （2）将

2?(0)yn?yn?1?yn?0.2xn??2(0)2yn(yn?y?y?0.1??1)??n?x?n?1xn?1?n?????

代入x0?1,y0?1得

[0][0]?y1?y2?1.2?1.4681???y(1.2)?y1?1.22 ，?y(1.4)?y2?1.49798

9．证明 考虑迭代格式

x0?0,xk?1?2?xk,k?0,1,?，则

x1?2，x2?2?2，?，xk?2?2?2???2?2（k个2）

设?(x)?2?x，则当x?[0,2]时，?(x)? [?(0),?(2)]=[2,2]? [0,2]；

??(x)?11??(x)???(0)??122?x，则当x?[0,2]时，22．

由

所以，由迭代格式内的根?． 设

k??x0?0,xk?1?2?xk产生的序列收敛于方程x?2?x在[0,2]

limxk??2，则有??2??，即??2??．解之得??2,???1．舍去不合题意

的负根，有

k??limxk?2，即

k??lim2?2?2???2?2?2

诚信保证 本人知晓我校考场规则和违纪处分条例的有关规定，保证遵守考场规则，诚实做人。 本人签字：_________ 编号：______ 学号：_______ 班号：_______姓名：

西北工业大学考试试题（卷）

成 2009 － 2010 学年 第 2 学期 绩 开课学院：理学院 课 程：计算方法 学时：32 2010年04月30日 考试时间：2小时 闭卷（A卷） （共9道题，注意检查） 1．（每小题3分，共15分）填空 **（1） 设近似数x1?9.2270,x2?0.8009 都是“四舍五入”得来的， 则相对误差*er(x1*x2)?_________; （2）拟合三点 A（3 ，1） ， B（1 ，3） ， C（2 ，2）的平行于y轴的直线 方程为_______________； *（3） 近似数x?0.0351 关于真值 x?0.0349有______位有效数字； （4） 插值型求积公式?1?1f(x)dx??Akf(xk)至少有______次代数精确度； k?1n?1（5） Simpson（辛浦生）求积公式有______次代数精确度。 2．（10分）已知曲线 y?x3?2.89 与 y?2.4x2?0.51x 在点（1.6,6.9）附近相切。试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值xn?1，当 西北工业大学命题专用纸 共 8 页 第 1 页

xn?1?xn?10?5时停止迭代。