《复变函数》考试试题与答案（一）

《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题（20分）：

1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若

{zn}收敛，则

{Re zn}{Im zn}与

都收敛. ( )

4.若f(z)在区域D内解析，且

f'(z)?0，则f(z)?C（常数）. ( )

5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 7.若

z?z0limf(z)存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( )

8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则f'(z)?0(?z?D). ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C

?Cf(z)dz?0.

( )

10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）

dz?__________.（n为自然数）

1、 ?|z?z0|?1(z?z)n022sinz?cosz? _________. 2.

3.函数sinz的周期为___________.

f(z)?4.设

?1z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.

n5.幂级数

?nzn?0的收敛半径为__________.

6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.

7.若n??limzn??z1?z2?...?zn?n??n，则______________.

limezRes(n,0)?z8.________，其中n为自然数.

sinz9. 的孤立奇点为________ .

zlimf(z)?___zf(z)的极点，则z?z010.若0是.

三.计算题（40分）：

1. 设

1f(z)?(z?1)(z?2)，求f(z)在D?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.

1dz.?|z|?1cosz2.

3?2?7??1f(z)??d?C??z3. 设，其中C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i).

w?4. 求复数

z?1z?1的实部与虚部.

四. 证明题.(20分) 1. 函数为常数. 2. 试证: f(z)?f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常数，那么它在D内

z(1?z)在割去线段0?Rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支,

《复变函数》考试试题（一）参考答案

并求出支割线0?Rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.

一． 判断题

1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．× 二．填空题 1. ??2?in?1 ； 2. 1； 3. 2k?，(k?z)； 4. z??i； 5. 1

0n?1?1； 9. 0； 10. ?.

(n?1)!6. 整函数； 7. ?； 8. 三．计算题.

1. 解 因为0?z?1, 所以0?z?1

?1?zn111n??z??(). f(z)???2n?02(z?1)(z?2)1?z2(1?z)n?022. 解 因为

z?Resf(z)?limz??2?2z??22?lim1??1, coszz???sinzz??2Resf(z)?limz???2z???22?lim1?1. coszz????sinz所以

1sf(z)?Resf(z)?0. ?z?2coszdz?2?i(Re??z??z?2223. 解 令?(?)?3??7??1, 则它在z平面解析, 由柯西公式有在z?3内, f(z)??(?)?c??zdz?2?i?(z).

所以f?(1?i)?2?i??(z)z?1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i). 4. 解 令z?a?bi, 则 w?z?122a(?1?bi)2a(?1)b2?1??1??1??. 222222z?1z?1(a?1)?b(a?1)?ba(?1)?bz?12(a?1)z?12b)?1?Im()?, . z?1(a?1)2?b2z?1(a?1)2?b2 故 Re(四. 证明题.

1. 证明 设在D内f(z)?C.

令f(z)?u?iv,则f(z)?u?v?c.

2222?uux?vvx?0 两边分别对x,y求偏导数, 得 ??uuy?vvy?0(1)(2)

因为函数在D内解析, 所以ux?vy,uy??vx. 代入 (2) 则上述方程组变为

?uux?vvx?022. 消去ux得, (u?v)vx?0. ??vux?uvx?01) 若u?v?0, 则 f(z)?0 为常数.

2) 若vx?0, 由方程 (1) (2) 及 C.?R.方程有ux?0, uy?0, vy?0. 所以u?c1,v?c2. (c1,c2为常数).

22所以f(z)?c1?ic2为常数. 2. 证明f(z)?z(1?z)的支点为z?0,1. 于是割去线段0?Rez?1的z平面内变点就

不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.

由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到z?0,1 时, 只有z的幅角增加?. 所以

f(z)?z(1?z)的幅角共增加?. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分2?i?2支在上岸之幅角为0, 因而此分支在z??1的幅角为, 故f(?1)?2e?2i.

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