全国2008年4月自学考试复变函数与积分变换试题

全国2008年4月自学考试复变函数与积分变换试题

课程代码：02199

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的

括号内。错选、多选或未选均无分。

_1．设z为非零复数，a,b为实数，若z?a?ib，则a22

z+b的值（A．等于0 B．等于1 C．小于1

D．大于1

2．设z?3?i,w?z2,则（ ） A．argw???3

B．argw?6

C．argw???6

D．argw???3

3．ln2i?（ ） A．ln2 B．ln2??2i

C．ln2??2i

D．ln2?iArg2i

4．设C为正向圆周|z|=1,则?zdz=（ ）

CA．6?i B．4?i C．2?i

D．0

5．设C为正向圆周|z-1|=2,则?ezCz?2dz=（ ）

A．e2

B．2?e2i C．?e2i

D．?2?e2i

6．设C为正向圆周|z|=2，则?z?ez4（ ）

C(z?1)dz=A．

?3ei

B．?6e

C．2?ei

D．

?e3i

1

）7．

12?z?的幂级数展开式?anzn在z=-4处（ ）

n?0A．绝对收敛 C．发散

?B．条件收敛 D．收敛于

1(1?i)n16

8．幂级数?n?0z的收敛半径为（ ）

nA．2 C．

12B．1 D．0

9．函数ztanz在z=0点的留数为（ ） A．2 B．i C．1 10．函数

eiazD．0

?ez2ibz(a、b为实数,a≠b)在z=0点的留数为（ ）

B．b?a

D．i(a?b)

A．i(b?a) C．a?b

二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11．设z??310?110i，则z?_____________.

12．方程lnz?1??3i的解为____________.

Rezdz?13．设C为从i到1+i的直线段，则?C____________.

_14．设C为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分?(z)3zdz?____________.

C15．设C为正向圆周|z|=2，则?cos(z?2z)3C?2dz?____________.

?16．若在幂级数?bnzn中，limn?0bn?1bnn???3?4i，则该幂级数的收敛半径为____________.

三、计算题（本大题共8小题，共52分） 17．（本小题6分）设复数z?

i(i?1)(i?2)

2

（1）求z的实部和虚部；（2）求z的模；（3）指出z是第几象限的点.

18．（本小题6分）

设z?x?iy.将方程|z|?Rez?1表示为关于x,y的二元方程，并说明它是何种曲线. 19．(本小题7分)

设f(z)?ax3?bxy2?i(y3?cx2y)为解析函数，试确定a,b,c的值. 20．(本小题7分)

设f(z)?u(x,y)?iv(x,y)是解析函数，其中u(x,y)?y2?x2?2xy， 求v(x,y). 21．（本小题6分） 求f(z)??2(z?4)(z?2)在圆环域1?|z?1|?3内的罗朗级数展开式.

22．（本小题6分） 设f(z)?sin11?z?的幂级数展开式为?anzn，求它的收敛半径，并计算系数a1,a2.

n?023．（本小题7分）

设C为正向简单闭曲线，a在C的内部，计算I=24．（本小题7分） 求f(z)?1z(z?i)312?i?zez3C(z?a)dz.

在各个孤立奇点处的留数.

四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题，两题都做按前

一题评分。每小题8分，共16分） 25．利用留数计算积分I????2x22??(x?1)(x?9)dx.

26．设D为Z平面上的扇形区域0?argz??3,|z|?1.求下列保角映射：

（1）w1?f1(z)把D映射为W1平面的上半单位圆盘D1； （2）w?f2(w1)把D1映射为W平面上的第一象限； （3）w?f(z)把D映射为W平面上的第一象限. 27．求函数F(p)?p?4(p?4)222的拉氏逆变换.

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