（北师大版）必修五名师精品：3.1.2《不等关系与不等式》教案（

教学设计

1．2 不等关系与不等式

整体设计

教学分析

我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．本节课的研究是对初中实数学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展．在本节课的学习过程中，让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本性质来比较两个代数式的大小．教学中，教师应做好点拨，利用数轴这一简单的数形结合工具，做好归纳总结．

根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，思考、交流、探究得出比较两实数大小的方法，即求差比较法，也就是要比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号．而这又必然归结到实数运算的符号法则．比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这也归结为判断它们的差的符号．

三维目标

1．通过回忆初中内容，结合数轴得出实数的基本性质，能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；掌握实数的运算性质与大小顺序间的关系．

2．通过本节学习，强化转化思想、数形结合思想的运用．

3．通过本节学习，激发学生探究数学问题的欲望，体会数学的奥妙与数学式子的结构美、对称美，从而激发学生的学习兴趣．

重点难点

教学重点：比较两实数(或代数式)的大小．

教学难点：准确理解实数运算的符号法则及一些代数式的恒等变形． 课时安排 1课时

教学过程

导入新课

思路1.(复习导入)让学生回忆并叙述初中所学的不等式的基本性质，即不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．让学生根据上一节的学习，将上面的文字语言用不等式表示出来，并进一步探究，由此而展开新课．

思路2.(类比导入)等式具有许多性质，其中有：在等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以(除数不为零)同一个数，所得的式子仍是等式．我们自然会联想到，不等式是否也会有此同样的性质呢？学生会进一步探究验证这个联想，由此而展开新课．

推进新课 新知探究 提出问题

①让学生回答等式有哪些性质？

②实数的基本性质是什么？怎样比较两个实数的大小？ ③不等式有哪些基本性质？这些性质有哪些作用？

活动：教师引导学生一起回忆等式的性质：等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以(除数不为零)同一个数，所得到的仍是等式．利用这些性质，我们可以对等式进行化简、变形或证明．那么不等式会不会也有类似的性质呢？也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以(除数不为零)同一个数，结果会不会不变呢？为此教师引导学生回忆初中学过的实数的基本性质．

[来源学科网]如图1，A、B为数轴上的两点，若点A对应的实数为a，点B对应的实数为b，因为点A在点B的右边，所以可得a＞b.a＞b表示a减去b所得的差是一个大于0的数，即正数，即a＞b?a－b＞0.它的逆命题也正确．

图1

类似地，如果a＜b，则a减去b是负数；如果a＝b，则a减去b等于0.它们的逆命题也正确．一般地，a＞b?a－b＞0；a＝b?a－b＝0；a＜b?a－b＜0.

这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等．等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据．根据实数的基本性质，要比较两个实数的大小，可以考查这两个实数的差．这是我们研究不等关系的一个出发点．

结合实数的基本性质，我们可以证明不等式的基本性质： 性质1，如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，

即不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向． 性质2，如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc. 性质3，如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.

以上这些关于不等式的基本性质是解决不等式问题的依据． 另外，我们知道不等关系有一个重要特征——传递性．

比如，小张比小李高，小李比小王高，那么小张一定比小王高；又如电脑录入文字，小李比小王录入速度快，小王比小张录入速度快，那么小李一定比小张录入速度快．

实数的大小关系也具有传递性：如果a＞b，b＞c，那么a＞c. 讨论结果：①～③略． 应用示例

思路1

例1 比较下列各组数的大小(a≠b)． a＋b2(1)与(a＞0，b＞0)；(2)a4－b4与4a3(a－b)．

211

＋ab

活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定．本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点．

a＋ba＋b2ab?a＋b?2－4ab?a－b?22

解：(1)－＝－＝＝，

2112a＋b2?a＋b?2?a＋b?

＋ab

?a－b?2a＋b22

∵a＞0，b＞0且a≠b，∴a＋b＞0，(a－b)＞0.∴＞0，即＞. 2112?a＋b?

＋ab

(2)a4－b4－4a3(a－b)＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a－b)

＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3－4a3)＝(a－b)[(a2b－a3)＋(ab2－a3)＋(b3－a3)] ＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2)＝－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]， ∵2a2＋(a＋b)2≥0(当且仅当a＝b＝0时取等号)，

又a≠b，∴(a－b)2＞0,2a2＋(a＋b)2＞0.∴－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]＜0. ∴a4－b4＜4a3(a－b)．

点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差—变形—判断符号．变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.

变式训练

1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是( )． A．f(x)＞g(x) B．f(x)＝g(x) C．f(x)＜g(x) D．随x值变化而变化

2

解析：f(x)－g(x)＝x－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，∴f(x)＞g(x)． 答案：A

2．已知x≠0，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小．

解：由(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2. ∵x≠0，得x2＞0.从而(x2＋1)2＞x4＋x2＋1.

cc

例2 已知a＞b＞0，c＜0，求证：＞. ab

活动：教师点拨学生根据不等式的性质自己探究．点拨学生注意不等式各性质的条件及结论，推理要有理有据、严谨细致、条理清晰．

11111cc

证明：∵a＞b＞0，∴ab＞0，＞0.于是a·＞b·，即＞.由c＜0，得＞. abababbaab

点评：本题是不等式性质的简单应用．不等式的性质应用于证明不等式，往往是从条件推出结论的变换关系. 变式训练

1．若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是( )．

bb＋111A．＞ B．a＋＞b＋

aa＋1ab

2a＋ba11

C．a＋＞b＋ D．＞

baa＋2bb

1111

解析：方法一：由a＞b＞0?0＜＜?a＋＞b＋. abba

11

方法二：令a＝2，b＝1，排除A、D，再令a＝，b＝，排除B.

23

答案：C

2．有以下四个条件：

①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0.

11

其中能使＜成立的有__________个条件．

ab

1111

解析：①∵b＞0 …… 此处隐藏：3777字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……