2014年全国高考理科数学试题及答案-上海卷(2)

2x?1当a?1时，f(x)?x，定义域为???,0?2?1?0,???，

2?x?12x?1f(?x)??x??x??f(x)，故函数y?f(x)为奇函数；

2?12?1当a?0且a?1时，定义域为???,log2a?既不是奇函数，也不是偶函数．

21、[解]：（1）记CD?h．根据已知得tan??tan2??0，

?log2a,???关于原点不对称，故函数y?f(x)hhhh80?0， tan???，tan??，所以2358035?h?1????80?2?解得h?202?28.28．因此，CD的长至多约为28.28米． （2）在?ABD中，由已知，????56.57，AB?115，

由正弦定理得

BDAB ，解得BD?85.064． ?sin?sin?????在?BCD中，由余弦定理得CD2?BC2?BD2?2BC?BD?cos?，解得CD?26.93． 所以，CD的长约为26.93米．

22、(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．

（1）证明：由题得，??2?(?2)?0，∴A(1,2),B(?1,0)被直线x?y?1?0分隔。

22（2）解：直线y?kx与曲线x?4y?1有公共点的充要条件时方程组?即|k|??y?kx?x?4y?122有解，

1。 222因为直线y?kx是曲线x?4y?1的分割线，故它们没有公共点，即|k|?当|k|?1 21222时，对于直线y?kx，曲线x?4y?1上的点（-1，0）和（1，0）满足???k?0，2即点（-1，0）和（1，0）被y?kx分隔。

故实数k的取值范围是k?(??,?][,??) （3）证明：由题得，设M(x,y)，∴x?(y?2)?x?1，

化简得，点M的轨迹方程为E:x?(y?2)?222212121,x?0。 x2①当过原点的直线斜率存在时，设方程为y?kx。

1?221?x?(y?2)?222联立方程，?x?(k?1)x?4kx?4?2。

x?y?kx?令F(x)?(k2?1)x2?4kx?4，G(x)?1，显然y?F(x)是开口朝上的二次函数 x2∴由二次函数与幂函数的图像可得，F(x)?G(x)必定有解，不符合题意，舍去 ②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为x?0。

22显然x?0与曲线E:x?(y?2)?1,x?0没有交点，在曲线E上找两点x2(?1,2),(1, 。

∴???1?1?0，符合题意

综上所述，仅存在一条直线x?0是E的分割线。

23、(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

?2?x?6??3?x?[3,6] 解：（1）由题得，??x?9?3x??3（2）由题得，∵an?an?1?3an，且数列{an}是等比数列，a1?1，

131?n?111n?1?q(q?)?0nn?1∴q?q?3q，∴?，∴q?[,3]。 333n?1?q(q?3)?0?

又∵Sn?Sn?1?3Sn，∴当q?1时，

13n?n?1?3n对n?N?恒成立，满足题意。 311?qn1?qn?11?qn当q?1时，? ??3?31?q1?q1?q?qn(q?3)??2?q1(q?3)??211∴①当q?[,1)时，?n，由单调性可得，?1，解得，q?[,1)

33?q(3q?1)?2?q(3q?1)?2?qn(q?3)??2?q1(q?3)??2②当q?(1,3]时，?n，由单调性可得，?1，解得，q?(1,2]

?q(3q?1)?2?q(3q?1)?2（3）由题得，∵an?an?1?3an，且数列a1,a2,?,ak成等差数列，a1?1，

∴[1?(n?1)d]?1?nd?3[1?(n?1)d]，∴?又∵a1?a2???ak?1000，∴Sk?1313?d(2n?1)??22,2] ，∴d?[?2k?1?d(2n?3)??2d2dddk?(a1?)k?k2?(1?)k?1000 22222000?2k2000?2k2?[?,2]，解得，k?[32,1999]，k?N? ∴d?，∴22k?kk?k2k?11∴k的最大值为1999，此时公差为d??。

1999