2014年全国高考理科数学试题及答案-上海卷

2014年普通高等学校招生统一考试上海市

数学试题（理科）及参考答案

满分150分;考试时间120分钟．

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）

1、函数y?1?2cos2(2x)的最小正周期是 ．

1??2、若复数z?1?2i， 其中i是虚数单位, 则?z???z? ．

z??x2y223、若抛物线y?2px的焦点与椭圆??1的右焦点重合, 则该抛物线的准线方程为 ．

95?x, x?(??,a),4、设f(x)??2 若f(2)?4, 则a的取值范围为 ．

x, x?[a,??).?5、若实数x， y满足xy?1, 则x2?2y2的最小值为 ．

6、若圆锥的侧面积是底面积的3倍, 则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值

表示）．

7、已知曲线C的极坐标方程为?(3cos??4sin?)?1, 则C与极轴的交点到极点的距离是 ． 8、设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1?9、若f(x)?x?x23?12lim(an??3?a4???an), 则q? . , 则满足f(x)?0的x的取值范围是 ．

10、为强化安全意识, 某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练, 则选择的3

天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）．

11、已知互异的复数a， b满足ab?0, 集合{a, b}?{a2, b2}, 则a?b? ．

2]上恰有三个解x1, x2,x 3, 则12、设常数a使方程sinx?3cosx?a在闭区间[0,πx1?x2?x3? . 13、某游戏的得分为1, 2, 3, 4, 5, 随机变量?表示小白玩该游戏的得分．若E(?)?4.2, 则小白

得5分的概率至少为 ．

214、已知曲线C:x??4?y, 直线l:x?6．若对于点A(m,0), 存在C上的点P和l上的Q使

得AP?AQ?0, 则m的取值范围为 ．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）．

15、设a, b?R, 则“a?b?4”是“a?2且b?2”的

(A) 充分条件

(B) 必要条件

(D) 既非充分又非必要条件

(C) 充分必要条件

16、如图, 四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱, AB是一

条侧棱, Pi(i?1,2,?,8)是上底面上其余的八个点, 则

AB?APi(i?1,2,?,8)的不同值的个数为

(A) 1

(B) 2

(C) 4

(D) 8

17、已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y?kx?1（k为常数）上两

?a1x?b1y?1,个不同的点, 则关于x和y的方程组?的解的情况是

ax?by?1?22(A) 无论k, P1, P2如何, 总是无解 (B) 无论k, P1, P2如何, 总有唯一解 (C) 存在k, P1, P2, 使之恰有两解 (D) 存在k, P1, P2, 使之有无穷多解 ?(x?a)2, x?0,?18、设f(x)?? 若f(0)是f(x)的最小值, 则a的取值范围为 1?x??a, x?0.x?(A) [?1,2] (B) [?1,0]

(C) [1,2] (D) [0,2]

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写

出必要的步骤．

19、(本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥P?ABC, 其表面展开图是

三角形P1P2P3, 如图．求△PP12P3的各边长及此三棱锥的体积V ．

20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

2x?a设常数a?0, 函数f(x)?x．

2?a（1）若a?4, 求函数y?f(x)的反函数y?f?1(x);

（2）根据a的不同取值, 讨论函数y?f(x)的奇偶性, 并说明理由。

21、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图, 某公司要在A, B两地连线上的定点C处建造广告牌, 其中D为顶端, AC长35米,

CB长80米. 设点A, B在同一水平面上, 从A和B看D的仰角分别为?和?．

（1）设计中CD是铅垂方向．若要求??2?, 问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ （2）施工完成后, CD与铅垂方向有偏差．现在实测得

???38.12, ??18.45?, 求CD的长（结果精确到0.01

米）．

22、(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．

在平面直角坐标系xOy中, 对于直线l:ax?by?c?0和点P1(x1,y1), P2(x2,y2), 记

??(ax1?by1?c)(ax2?by2?c)．若??0, 则称点P若曲线C与直线l没有公共点, 1, P2被直线l分隔．

且曲线C上存在点P1, P2被直线l分隔, 则称直线l为曲线C的一条分隔线． (1)求证: 点A(1,2), B(?1,0)被直线x?y?1?0分隔;

(2)若直线y?kx与曲线x2?4y2?1的分隔线, 求实数k的取值范围;

(3)动点M到点Q(0,2)的距离与到y轴的距离之积为1, 设点M的轨迹为曲线E。 求证: 通过原点的直线中, 有且仅有一条直线是E的分隔线.

23、(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

1*已知数列{an}满足an?an?1?3an, n?N, a1?1．

3(1)若a2?2, a3?x, a4?9, 求x的取值范围;

1*(2)设{an}是公比为q的等比数列, Sn?a1?a2???an．若Sn?Sn?1?3Sn, n?N,

3求q的取值范围;

(3)若a1,a2,?,ak成等差数列, 且a1?a2???ak?1000, 求正整数k的最大值, 以及k取最大值时相应数列a1,a2,?,ak的公差．

参考答案

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）

1、

1?； 2、6； 3、x??2； 4、a?2； 5、22； 215?111； 7、； 8、； 9、（0,1）； 10、； 323156、arccos11、-1； 12、

7?； 13、0.2； 14、?2,3?. 3二、选择题（本大题共有4题，满分20分）．

15、B; 16、A; 17、B; 18、D;

三、解答题（本大题共有5题，满分74分） 19、(本题满分12分)

在?PP，所以AC是中位线，故PP?P?PC12P3中，PA13A，PC2312?2AC?4． 同理，P2P3?4，P3P1?4．所以?PP12P3是等边三角形，各边长均为4． 设Q是?ABC的中心，则PQ?平面ABC， 所以AQ?223，PQ?AP2?AQ2?6． 33从而，V?20.解：

122S?ABC?PQ?． 334?y?1?2x?4x（1）因为y?x，所以2?，

2?4y?1得y??1或y?1，且x?log24?y?1?y?1．

因此，所求反函数为f?1(x)?log24?x?1?，x????,?1?x?1?1,???．

（2）当a?0时，f(x)?1，定义域为R，故函数y?f(x)是偶函数；