高等数学复习资料(2)

证：Lagrange:f(b)?f(a)?f'(?)

b?a2ln2b?ln2a2ln?令f(x)?lnx, ?b?a?令?(t)?lnt1?lntln?22 ,?'(t)??0??(?)??(e)??22t?te4(b?a) （关键：构造函数） 2eln2b?ln2a?

三、补充习题（作业） 1.f(x)?ln1?x3 ,求y''(0)??221?xt??x?esin2t在(0,1)处切线为y?2x?1?0 2.曲线?t??y?ecos2t3.y?xln(e?11)(x?0)的渐进线方程为y?x? xe4.证明x>0时(x2?1)lnx?(x?1)2

2(x2?1) 证：令g(x)?(x?1)lnx?(x?1),g'(x),g''(x),g'''(x)?

x322 g(1)?g'(1)?0，g''(1)?2?0

x?(0,1),g'''?0,g''?2??x?(0,1),g'?0?g''?0??g?0 ??x?(1,??),g'''?0,g''?2??x?(1,?),g'?0第三讲 不定积分与定积分

一、理论要求 1.不定积分 2.定积分

掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）

会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部） 理解定积分的概念与性质

理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分

会用定积分求几何问题（长、面、体）

会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值

二、题型与解法

A.积分计算

B.积分性质

C.积分的应用1.

?dxx(4?x)??dx4?(x?2)2?arcsinx?22?C 2.?e2x(tanx?1)2dx??e2xsec2xdx?2?e2xtanxdx?e2xtanx?C

3.设f(lnx)?ln(1?x)x，求?f(x)dx 解：?f(x)dx??ln(1?ex)exdx ?e?xln(1?ex)??(1?ex1?ex)dx?x?(1?e?x)ln(1?ex)?C 4.??arctanx1x2dx??1xarctanx|?b1x?11?blim????1(x?1?x2)dx?4?2ln2 5.f(x)连续，?(x)??1f(x)0f(xt)dt,且limx??0x?A，求?(x)并讨论?'(x)在x?0的连续性。

x解：f(0)??(0)?0,y?xt??(x)??0f(y)dyx

?'(x)?xf(x)??x0f(y)dyx2??'(0)?A2?limx??0?'(0)?A/2??'(0) 6.dxdx?0tf(x2?t2)dt??dx2dx?0f(x2?t2)d(t2?x2) ?dx22dx?0f(y)d(y)?xf(x2) 7.设f(x)在[0，1]连续，在（0，1）上f(x)?0，且

xf'(x)?f(x)?3a2x2，又f(x)与x=1,y=0所围面积S=2。求f(x)，且a=?时S绕x轴旋转体积最小。 解：df(x)3a31dx(x)?2?f(x)?a2x2?cx??0f(x)dx?2?c?4?a ?f(x)?3a12x2?(4?1)x?V'?(??0y2dx)'?0?a??5 8.曲线y?x?1，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x轴所围图形绕x轴旋转的表面积。 解：切线y?x/2绕x轴旋转的表面积为?202?yds?5?

曲线y?x?1绕x轴旋转的表面积为?12?yds?2?6(55?1) 总表面积为

三、补充习题（作业）

?6(115?1) lnsinx?sin2xdx??cotxlnsin2x?cotx?x?C

x?5dx 2.?2x?6x?131.3.

?arcsinxxdx

第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何

一、理论要求 1.向量代数

理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模） 了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示

理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质 理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分

熟练掌握复合函数与隐函数求导法 理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值 掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法 会求平面、直线方程与点线距离、点面距离 2.多元函数微分

3.多元微分应用 4.空间解析几何

二、题型与解法 A.求偏导、全微分

1.f(x)有二阶连续偏导，z?f(exsiny)满足zxx?zyy?ez，求

''''2xf(x)

解：f''?f?0?f(u)?c1e?c2eu?u

1?2z2.z?f(xy)?y?(x?y)，求

x?x?y3.y?y(x),z?z(x)由z?xf(x?y),F(x,y,z)?0决定，求dz/dx

B.空间几何问题

4.求和。

x?y?z?a上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之

解：x/x0?y/y0?z/z0?a?d?a

5.曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,2)处的法线方程。

C.极值问题

6.设z?z(x,y)是由x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0确定的函数，求z?z(x,y)的极值点与极值。

三、补充习题（作业）

xy?2z1.z?f(xy,)?g(),求

yx?x?y2.z?f(xy,?xy?z?g()),求 yx?x223.z?u,u?lnx?y,??arctany,求dz x第五讲 多元函数的积分

一、理论要求 1.重积分

熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）

??D?bdxy2(x)f(x,y)dy???y1(x) f(x,y)dxdy???a2r2(?)???1d??r1(?)f(r,?)rdr?by2(x)z2(x,y)?dxdy?a?y1(x)?z1(x,y)f(x,y,z)dz?z2?2(z)r2(z,?)? f(x,y,z)dxdydz???dz?d??f(r,?,z)rdrz1?1(z)r1(z,?)???2(?)r2(?,?)2???d???1(?)d??r1(?,?)f(r,?,?)rsin?dr????V会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）

z?f(x,y)?A???2.曲线积分

D21?z'2x?z'ydxdy

理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法

b?L:y?y(x)??f(x,y(x))1?y'2xdxa????x?x(t)f(x,y)dl??L:???f(x(t),y(t))x't2?y't2dt ??y?y(t)??L:r?r(?)??f(rcos?,rsin?)r2?r'2d?????L3.曲面积分

熟悉Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件

理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系 熟悉Gauss与Stokes公式，会计算两类曲面积分

二、题型与解法 A.重积分计算

B.曲线、曲面积分 ??S:z?z(x,y)f(x,y,z)dS???f(x,y,z(x,y))1?z'2'2x?zydxdyGauss:??SE??dS?Dxy????V??E?dV(通量，散度） Stokes:?LF??dr??????S(??F)?dS(旋度）1.I????(x2?y2?y2?)dV,?为平面曲线??2z?0绕z轴旋转一周与z=8

?x的围域。 解：I??882?2z0dz??x2?y2?2z(x2?y2)dxdy??0dz?0d??0r2rdr?1024?3 22.I???x?y2D4a2?x2?y2dxdy,D为y??a?a2?x2(a?0)与

2y??x围域。（I?a2(?16?12) 3.f(x,y)???x2y,1?x?2,0?y?x,其他，

?0求

??Df(x,y)dxdy,D:x2?y2?2x (49/20)

4.I??(exsiny?b(x?y))dx?(excosy?ax)dy

L L从A(2a,0)沿y?2ax?x2至O(0,0)

解：令L1从O沿y?0至A I?dxdy??L???L1????(b?a)?2a(?bx)dx?(L1D02?2)a2b??32a

5.I??xdy?ydxL4x2?y2,L为以(1,0)为中心，R(?1)为半径的圆周正向。

解：取包含(0,0)的正向L1:??2x?rcos??y?rsin?，

L???L1?L??L1?0??L??L1??

6.对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S，

??Sxf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0，且f(x)在x>0有连续一