高等数学复习资料

《高等数学复习》教程

第一讲 函数、连续与极限

一、理论要求

1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）

2.极限 3.连续

二、题型与解法 A.极限的求法 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）

极限存在性与左右极限之间的关系

夹逼定理和单调有界定理

会用等价无穷小和罗必达法则求极限

函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）

（1）用定义求

（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法 （4）两个重要极限法

（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法

（7）洛必达法则与Taylor级数法

（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）

1.limarctanx?xarctanx?x1（等价小量与洛必达） ?lim??33x??0ln(x??061?2x)2xsin6x?xf(x)6?f(x)?0，求lim 32x??0x??0xx2.已知limsin6x?xf(x)6cos6x?f(x)?xy'?limx??0解：x??0 x33x2lim?36sin6x?2y'?xy''?216cos6x?3y''?xy'''?limx??0x??06x6

?216?3y''(0)??0?y''(0)?726?limlim6?f(x)y'y''72?lim?lim??36 （洛必达） 2x??0x??0x??0x2x222x2xx?13.lim() （重要极限） x??1x?1ax?bxx4.已知a、b为正常数，求lim()

x??02ax?bxx3解：令t?(),lnt?[ln(ax?bx)?ln2]

2x3333xx(alna?blnb)?ln(ab)x??0x??0ax?bx2（变量替换） ?t?(ab)3/2limlnt?lim15.lim(cosx)x??0ln(1?x2)

1ln(1?x),lnt?解：令t?(cosx)21ln(cosx) 2ln(1?x)limlnt?limx??0?tanx1???t?e?1/2（变量替换）

x??02x26.设f'(x)连续，f(0)?0,f'(0)?0，求lim?xx20f(t)dtxx??02??1

0f(t)dt（洛必达与微积分性质）

?ln(cosx)x?2,x?07.已知f(x)??在x=0连续，求a

?a,x?0解：令a?limln(cosx)/x??1/2 （连续性的概念）

x??02

三、补充习题（作业） 1.limx??0ex?1?x1?x?cosx??3 （洛必达）

2.limctgx(x??011?) （洛必达或Taylor） sinxx?t23.limx??0x?edt0x1?e?x2?1 （洛必达与微积分性质）

第二讲 导数、微分及其应用

一、理论要求 1.导数与微分

导数与微分的概念、几何意义、物理意义

会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程

理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 会用定理证明相关问题

会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）

2.微分中值定理 3.应用

二、题型与解法

A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导

1.y?y(x)由??x?arctant决定，求dy

2tdx?2y?ty?e?5232.y?y(x)由ln(x?y)?xy?sinx决定，求

dy|x?0?1 dx解：两边微分得x=0时y'?ycosx?y，将x=0代入等式得y=1 3.y?y(x)由2B.曲线切法线问题

xy?x?y决定，则dy|x?0?(ln2?1)dx

??/24.求对数螺线??e在（?，?）?（e ,?/2)处切线的直角坐标方程。

???x?ecos??/2,(x,y)|?(0,e),y'|???/2??1 解：????/2???y?esin?y?e?/2??x

5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。 解：需求f(6),f'(6)或f(1),f'(1)，等式取x->0的极限有：f(1)=0

f(1?sinx)?3f(1?sinx)x??0sinxlimC.导数应用问题

D.幂级数展开问题sin?x?tlimf(1?t)?f(1)f(1?t)?f(1)t??0[t?3t] ?4f'(1)?8?f'(1)?2?y?2(x?6)6.已知y?f(x)对一切x满足xf''(x)?2x[f'(x)]2?1?e?x，

若f'(x0)?0(x0?0)，求(x0,y0)点的性质。

解：令x?xex0?1??0,x0?00代入，f''(x0)?exx，故为极小值点。0?? 0??0,x0?0y?x37.(x?1)2，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 解：定义域x?(??,1)?(1,??)

y'?0?驻点x?0及x?3y''?0?拐点x?0；x?1：铅垂；y?x?2：斜

8.求函数y?(x?1)e?/2?arctanx的单调性与极值、渐进线。

2解：

y'?x?x1?x2e?/2?arctanx?驻点x?0与x??1，

渐：y?e?(x?2)与y?x?2

9.

dx2dx?0sin(x?t)dt?sinx2 2(sin(x?t)2?(x?t)2?13!(x?t)?????(?1)x?t)2n?1)6n((2n?1)!?????sin(x?t)2dt??17n?1(x?t)4n?1313(x?t)?3!7(x?t)?????(?1)(4n?1)(2n?1)!xx?t)2?1317?1)x4n?1?n0sin(3x?3!7x?????((4n?1)(2n?1)!????dx2(2n?1)2216nx2dx?0sin(x?t)dt?x?3!x?????(?1)(2n?1)!?????sinx

或：x?t?u?d0dx?xsinu2(?du)?dx22dx?0sinudu?sinx

E.不等式的证明F.中值定理问题10.求f(x)?x2ln(1?x)在x?0处的n阶导数f(n)(0)

解：x2ln(1?x)?x2(x?x2?x3n?2?????(?1)n?1x2?o(xn?223n?) =

x3?x42?x5n3?????(?1)n?1xn?2?o(xn) ?f(n)(0)?(?1)n?1n!n?2 11.

设

x?(0,1)，

求证（1?x)ln2(1?x)?x2，1111ln2?1?ln(1?x)?x?2

证：1）令g(x)?(1?x)ln2(1?x)?x2,g(0)?0

g'(x),g''(x),g'''(x)??2ln(1?x)(1?x)2?0,g'(0)?g''(0)?0 ?x?(0,1)时g''(x)单调下降，g''(x)?0,g'(x)单调下降

g'(x)?0,g(x)单调下降，g(x)?0；得证。 2）令h(x)?1ln(1?x)?1x,x?(0,1),h'(x)?0,单调下降，得证。

12.设函数f(x)在[?1，1]具有三阶连续导数，且f(?1)?0,f(1)?1，

f'(0)?0，求证：在（-1，1）上存在一点?，使f'''(?)?3

证：f(x)?f(0)?f'(0)x?12!f''(0)x2?13!f'''(?)x3 其中??(0,x),x?[?1,1]

0?f(?1)?f(0)?1f''(0)?1f'''将x=1，x=-1代入有26(?1)

1?f(1)?f(0)?12f''(0)?16f'''(?2)两式相减：f'''(?1)?f'''(?2)?6

???[?，?f'''(?)?11，?2]2[f'''(?1)?f'''(?2)]?3

13.e?a?b?e2，求证：ln2b?ln2a?4e2(b?a)