数字信号处理报告

数字信号处理实验报告

实验目的

一、加深对离散傅立叶变换（DFT）和快速傅立叶变换（FFT）的理解，掌握通过两种变换求卷积的编程方法； 二、掌握设计巴特沃斯低通双线性IIR数字滤波器的原理和方法，以及从低通转换到高通的技术； 三、掌握用窗函数设计FIR数字滤波器的原理及方法，了解各种不同窗函数对滤波器性能的影响； 四、提高综合应用和分析的能力，Matlab编程能力等。

实验内容

实验一

一、实验名称 快速傅立叶变换 二、实验要求

编程利用FFT进行卷积计算，通过实验比较出快速卷积优越性。 三、实验原理

利用FFT进行离散卷积的步骤归纳如下： (1)、设x(n)的列长为N1，h(n)的列长为N2，要求

y(n)=x(n)*h(n)=

?k?0N?1x(k)h((n-k))NRN(n)=

?x(k)h(n?k)

k?0N?1[1]

(2)、为使两有限长序列的线性卷积可用其圆周卷积来代替而不产生混淆，必须选择N≥N1+ N2-1。为使用基-2FFT来完成卷积计算，故要求N=2(v是整数)。用补零的办法使x(n)，h(n)具有列长N，即

v

n?0，1，2，??N1-1?x(n)x(n)= ?

0 n? N1，N1?1,??N-1?h(n)= ?

(3)为用圆周卷积定理计算线性卷积，先用FFT计算x(n) ，h(n) 的N点离散傅立叶变换

n?0，1，2，??N2-1?h(n)

n? N2，N2?1,??N-1?0 ? X(k) [2] x(n)??? h(n) (4)组成卷积

Y(k)=X(k)H(k) [4]

(5)利用IFFT计算Y(k)的离散傅立叶逆变换得到线性卷积y(n)。由于 y(n)=

FFT????H(k)

FFT [3]

?[(1/N)Y(k)]k?0N?1WN-nk=[

?[(1/N)Y*(k)]W

k?0N?1N

nk

]* [5]

可见，y(n)可由求(1/N)Y*(k)的FFT再取共轭得到。

四、实验题目

(1) 两个正弦序列的卷积（均为两个周期，256点） 输入序列：

卷积输出：

（2）正弦序列与三角序列的卷积（正弦序列为两个周期，256点；三角序列为一个周期，256个点） 输入序列：

卷积输出：

（3）两个矩形序列的卷积（均为两个周期，256个点，占空比0.5） 输入序列：

卷积输出：

（4）单位冲击与正弦波（单位冲击序列为256个点，正弦序列为1.7个周期，256个点）

输入序列：卷积输出：

任何序列与单位冲击序列的卷积为原序列，所以结果正确。

(5)正弦序列与矩形序列的卷积（两序列均为256个点，正弦序列为两个周期，矩形序列为两个周期，占空比为0.2） 输入序列：

卷积输出：

主要代码（只选一个参考，下同）：

%（1）的代码

k=1:256;

s1=sin(k/64*pi); s2=s1;

xk=fft(s1,2*length(k)-1); yk=fft(s2,2*length(k)-1); rm=ifft(xk.*yk); m=(-255):(255); stem(m,rm)

xlabel('m'); ylabel('·ù?è');

实验二

一、实验名称 IIR数字滤波器 二、实验要求：

设计巴特沃斯低通双线性IIR数字滤波器，N=3，ωc=0.2π。 输入信号为以下三种序列（选择点数为128或256）： 1． 单位取样

2． 三角序列（两个周期） 3． 矩形序列（占空比0.1或0.5）

给出输出的时域及频域效果，并进行简单的分析。

三、实验原理：

滤波器的作用是滤除信号中某一部分的频率分量。信号经过滤波器处理，就相当与信号频谱与滤波器的频率响应相乘的结果。在时域里来看，这就是信号与滤波器的冲激响应相卷积。可以说滤波器就是一个卷积器。 IIR滤波器的系统函数

H(z)??bzrr?0Nk?1M?r1??akz?kMy(n)?r?0brx(n?r)??aky(n?k)k?1N 对应的差分方程为

模拟滤波器系统函数Ha(s)的一般表示式为

Ha(s)??d?Ck?0?rr?0NNrsrskkd0?d1s?d2s2???dNsN?C0?C1s?C2s2???CNsN 数字滤波器系统函数H(z)的普遍表示式为

H(z)??bzrN?ak?0r?0Nkz?kB0?B1z?1?B2z?2???BNz?N?1?A1z?1?A2z?2???ANz?N 三阶次巴特沃斯滤波器的系统函数为

323?c/(s?2?cs?2?cs??c)32[?c?2?tan()]T2

由Ha(s)的系数表示经双极性变换后的Y(z)的表达式（三阶）ωc=0.2π Y(Z)=0.018099*X(Z)*Z+0.054297*X(Z)*Z+0.054297*X(Z)*Z+0.018099*X(Z)

+0.27806*Y(Z)*Z-1.18289*Y(Z)*Z+1.76004*Y(Z)*Z

即

y(n)=0.018099*x(n-3)+0.054297*x(n-2)+0.054297*x(n-1)+0.018099*x(n)

+0.27806*y(n-3)-1.18289*y(n-2)+1.76004*y(n-1)

由低通数字滤波器原形变换为高通数字滤波器

-3

-2

-1

-3

-2

-1

??1?az??1?a??1?1???ccos(c)2a?????ccos(c)2由截止频率ωc=0.2π三阶低通变换为截止频率ωc=0.6π三阶高通，经计算，其表达式为： y(n)=-0.098531x(n-3)+0.295594x(n-2)-0.295594x(n-1)+0.098531x(n)

-0.056297y(n-3)-0.42179y(n-2)-0.57724y(n-1)

计算过程：由给定的条件可计算出巴特沃斯系统函数的系数，相应可知摸拟系统函数的系数，经双极性变换法求出数字滤波器的系数，最后由差分方程实现低通滤波效果。经相应的Z平面映射，由映射公式变换得出数字高通滤波器系统函数的系数，从而由差分方程实现高通效果。

四、实验结果及分析： A.低通滤波：