整体思想在初中数学教学中的渗透

整体思想在初中数学教学中的渗透

合沟中学 张可标

摘要：整体思想是系统论中的整体原理在数学中的具体反映，它是一种重要的解题策略和数学观念，整体思想要求在解题时不仅要发挥各个部分的功能，更要重视通过分解、组合以至改造等手段，发挥各部分相互结合而产生的新功能， 提高整体解题效率。这篇主要利用数学解题的实例介绍整体思想在数学解题中的特殊作用和解题的巧妙之处，介绍了在初中教学中渗透整体思想的重要作用，并在初中数学中即是合理的贯穿整体思想的教学。 关键词：整体思想 初中数学

整体思想是系统论中的整体原理在数学中的具体反映，它是一种重要的解题策略和数学观念，整体思想具体反映在数学教学中，要求在解决数学问题中不拘泥于问题的各个组成部分，而是将要解决的数学问题看成是一个整体，通过研究整体形式和结构特征，达到顺畅便捷地解决问题的目的。

整体思想要求在解题时不仅要发挥各个部分的功能，更要重视通过分解、组合以至改造等手段，发挥各部分相互结合而产生的新功能， 提高整体解题效率。

由于初中学生年龄、心理等的不足，往往会因缺少经验而有其片面性的特点，不能从整体上把握问题的特征，以求简单快捷的解决问题，如：

?3a?b?4已知方程组? ，求a+b的值。

2a?2b?1?对于初中学生来讲，常常是通过解方程组解得a=、b=,然后将a=和b=代入a+b求得：a+b=3。如果考察方程组的特点，用整体思想来求解要简单、便捷的多：解：①-②得：a+b=3。

如若上例用常规的解法还可以轻松解决的话，那么下例若用常规

74547454解法可要大费周折：已知x2-3x+1=0,求x+的值。

常规解法，用一元二次方程求根公式求得方程x2-3x+1=0的两解，然后分别将两根再代入x+求解，而若用整体思想，将x+看作是一个整体，就简单方便多了：

解： 由x2-3x+1=0，可知x≠0，方程两边同除以x得：x-3+=0，移项得：x+=3

以上两例我们可以看到用整体思想解题的简单、便捷之处，因此，要在初中数学教学中渗透整体思想的教学，让学生感受到整体思想的独特优点和魅力，培养学生的整体意识，运用整体思想优化解题过程，简化解题环节，学会从整体上思考问题。

在课堂教学中渗透整体思想，优化解题过程，简化解题环节，除上面提到的两例中的整体求和以外，还要注意以下几个方面：

（一）.整体代入在求代数值中的应用：

求代数的值最常用的方法就是代入法，即把字母所表示的数值直接代入，计算求值，有时给出的条件不是字母的具体数值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难求出字母的值或根本就求不出字母的值，根据题目的特点，将一个代数式的值整体代入，求值时方便又快捷，这种整体代入的方法经常用到。

例1． 若a2-a-2=0，求2 a2-2a+5的值。

解析：这道题就是把a2-a看成一个整体，即a2-a=2，而2 a2-2a+5则可以逆用乘法分配律得：（a2-a）2+5，将a2-a=2整体代入 2（a2-a）+5中，得：2×2+5=9。

1x1x1x1x1x例2． 2m-1=2,求 3+4m的值。

解析：这道题给人的感觉是先移项得到2m=3，求m，这里的m是指数，我们没有学过求指数的知识，不少学生都会望而生畏，感到比较困难，其实仔细观察要求的式子与已知的式子，是不难发现解决问题的方法的，由已知式2m-1=2，我们可以得到2m=3，而3+4m又可看作3+（22）m，它又可转化为3+（2m）2，所以本题结果是12。

例3． 已知3x=2,3y=8,求 3x?y的值

解析：本题中x和y都是指数，对于初中学生来讲，上例我们已经讲过，要求得的x、y的值并不是一件很容易的事，而要把3x、3y看成一个整体本题便可以迎刃而解：根据幂的乘积计算公式可知：3x·3y= 3x?y，也就是3x?y=3x·3y=2×8=16 （二）.整体代入在方程中的应用：

解二元方程组时，通常是用代入消元法和加减消元法，其中代入消元是由一方程求出其中一个未知数的代数式，然后把这个代数式整体代入另一个方程中，求另一个未知数的解，然后再求另一个未知数的解，这本身就是整体代入的最好例证；而加减消元法，则通过叠加叠减的方法达到消元，以求出未知数的值，其实也是把两个方程分别看成两个整体以求解题的快速。而有时按部就班，比较复杂、麻烦，需要有集成的眼光，构造一个整体进行解答，就像本文一开始就向大家展示的方程组那样，不需要一一解出a、b的值，而是叠加求出a+b的值。

?x?y?4?1?? 例4．解方程组?y?z?5?2?

??x?z?3?3?这类方程组求解时，一般是利用加减消元或代入消元，而若把x+y+z看作整体，把(1)(2)(3)叠加在一起，求这个整体x+y+z=6 (4)，然后用这个整体(4)分别减去(1)、(2)、(3)，就可以得到x、y、z的值了，即(4)- (1)得:z=2, (4)- (2)得:x=1, (4)- (3)得:y=3。

?1??2007x?2008y?2009 例5． ?

??2008x?2007y?20062?解析：直接用解方程的一般套路，求x,，y计算量大，比较麻烦。用(1)+(2)后除以（2007+2008）得x+y=1; (2)- (1)得x-y=3然后再来求x，y就容易了。

再者一元二次方程根与系数关系的解题意图、方法、过程都是整体思想的具体体现：

例6．已知x2-3x+1=0，x2+

1的值。 x2分析：此例是本文开头第二个例题的一个扩展，同样的借一元二次方程的两根再代入x2+一个整体然后再对x2+

11求值，有点困难，此例也是将x+看作2xx1进行重组、变形，利用整体思想进行解题就x21简单，方便多了，由上例我们已知x+=3。

x111解：x2+2=（x+）2-2 ①，将x+=3整体代入①，得：

xxx11x2+2=（x+）2-2=32-2=7。

xx（三）.整体代入在分式中的应用： 例7．已知

2x?3xy?2y11-=3，求的值。 xyx?2xy?y解析：方法很多，由已知变形得到3xy=y-x，可以把xy表示出来，看做一个整体也可以把x-y表示出来，看做一个整体。

解法1.由-=3可知3xy=y-x，则

1x1y2x?3xy?2y2x?(y?x)?2y=

2x?2xy?yx?(y?x)?y3=

6x?3y?3x?6y3x?3y3==。

3x?2y?2x?3y5x?5y5解法2. 由

1x-

1y=3可知3xy=y-x，则

2x?3xy?2y2(x?y)?3xy2?(?3xy)?3xy?3xy3====。 x?y?2xy?3xy?2xyx?2xy?y?5xy5（四）.整体代入在二次根式中的应用： 例9．已知x=

3?23?2,y=

3?23?2,求代数的

x?y值。 xy解析：此题如果直接代入计算，则计算量较大，而且容易出错，通过观察已知条件和与求值的式子，发现他们都可以简化，这样采取变问题的条件和结论的方法，然后采取整体代入的思想，比较容易求出问题的解来。

∵x=

3?23?2,y=

3?23?2

3?23?2∴xy=1,x+y=

3?23?2+=(3?2)2+(3?2)2

=3+26+2+3-26+2=10 ∴

x?y10==10 1xy（五）.整体思想在函数中的应用：

例10已知k为正整数，关于x的方程（k-2）x2-2(k-3)x+k=0