离散数学（第三版）陈建明，刘国荣课后习题答案(3)

[证] 必要性：即证A3B=B3A?A=?∨B=?∨A=B

若A3B=?，则A=?或者B=?

若A3B≠?，则A≠?且B≠?，因此对任何x∈A及任何y∈B就有（x，y）∈A3B，根据A3B=B3A，可得（x，y）∈B3A，故此可得x∈B，y∈A，因此而得A?B且B?A，所以由?的反对称性A=B。

充分性：即证A=?∨B=?∨A=B?A3B=B3A 这是显然的。 4．证明（A∩B）3（C∩D）=（A3C）∩（B3D）

[证]证法一：（元素法）对任一（x，y）∈（A∩B）3（C∩D） 有x∈A∩B，y∈C∩D，于是x∈A，x∈B，y∈C，y∈D。因而（x，y）∈A3C，且（x，y）∈B3D，所以（x，y）∈（A3C）∩（B3D）。因而（A∩B）3（C∩D）?（A3C）∩（B3D）

另一方面，对任一（x，y）∈（A3C）∩（B3D），于是有（x，y）∈A3C且（x，y）∈B3D，因而x∈A，y∈C，x∈B y∈D。所以x∈A∩B，y∈（C∩D）。所以（x，y）∈（A∩B）3（C∩D）。因而（A3C）∩（B3D）?（A∩B）3（C∩D）。

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