2015年全国高中数学联合竞赛试题与解答（B卷）

2015年全国高中数学联赛（B卷）（一试）

一、填空题（每个小题8分，满分64分 1：已知函数f(x)???a?xx?alog2x?[0,3]x?(3,??)，其中a为常数，如果f(2)?f(4)，则a的取

值范围是

2：已知y?f(x)?x3为偶函数，且f(10)?15，则f(?10)的值为 3：某房间的室温T（单位：摄氏度）与时间t（单位：小时）的函数关系为：

T?asint?bcost,t?(0,??)，其中a,b为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，

则a?b的最大值是

4：设正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是单位正方形，如果二面角A1?BD?C1的大小为

?，则AA1? 35：已知数列?an?为等差数列，首项与公差均为正数，且a2,a5,a9依次成等比数列，则使得

a1?a2?????ak?100a1的最小正整数k的值是 226：设k为实数，在平面直角坐标系中有两个点集A?(x,y)x?y?2(x?y)和

??B??(x,y)kx?y?k?3?0?，若A?B是单元集，则k的值为

y2x2??1上的动点，点A(1,1),B(0,?1)，则PA?PB的最大值为 7：设P为椭圆438：正2015边形A1A2???A2015内接于单位圆O，任取它的两个不同顶点Ai,Aj， 则OAi?OAj?1的概率为 二、解答题

9：（本题满分16分）数列?an?满足a1?3,对任意正整数m,n，均有am?n?am?an?2mn （1）求?an?的通项公式； （2）如果存在实数c使得

1?c对所有正整数k都成立，求c的取值范围 ?ai?1ik10：（本题满分20分）设a1,a2,a3,a4为四个有理数，使得：

31??aa1?i?j?4????24,?2,?,?,1,3?，求a?a?ij?28?12?a3?a4的值

x2y211：（本题满分20分）已知椭圆2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(c,0)，存在经过点Fab的一条直线l交椭圆于A,B两点，使得OA?OB，求该椭圆的离心率的取值范围

（加试）

1：（本题满分40分）证明：对任意三个不全相等的非负实数a,b,c都有：

(a?bc)2?(b?ac)2?(c?ab)21?，并确定等号成立的充要条件 222(a?b)?(b?c)?(c?a)2 2：（本题满分40分）如图，在等腰?ABC中，AB?AC，设I为其内心，设D为?ABC内的一个点，满足I,B,C,D四点共圆，过点C作BD的平行线，与AD的延长线交于E 求证：CD?BD?CE

2)满足： 3：（本题满分50分）证明：存在无穷多个正整数组(a,b,c)(a,b,c?2015abc?1,bac?1,cab?1

4：（本题满分50分）给定正整数m,n(2?m?n)，设a1,a2,???,am是1,2,???,n中任取m个互不相同的数构成的一个排列，如果存在k??1,2,???,m?使得ak?k为奇数，或者存在整数

k,l(1?k?l?m)，使得ak?al，则称a1,a2,???,am是一个“好排列”，试确定所有好排列

的个数。

2015年全国高中数学联赛（B卷）解答 （一试）

三、填空题（每个小题8分，满分64分

?a?x1．已知函数f(x)??x?alog2x?[0,3]x?(3,??)，其中a为常数，如果f(2)?f(4)，则a的取

值范围是 ． 答案：（-2,+∞）．解：f(2)?a?2,f(4)?2a，所以a?2?2a，解得：a??2． 2．已知y?f(x)?x3为偶函数，且f(10)?15，则f(?10)的值为 ．

答案：2015．解：由己知得f(?10)?(?10)3?f(10)?103，即f(?=2015． 10)1(0?)f2000?3．某房间的室温T（单位：摄氏度）与时间t（单位：小时）的函数关系为：

T?asint?bcost,t?(0,??)，其中a,b为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则a?b的最大值是 ．

答案：52．解：由辅助角公式：T?asint?bcost?条件sin??a2?b2sin(t??)，其中?满足

ba2?b2,cos??aa2?b22222，则函数T的值域是[?a?b,a?b]，室

内最大温差为2a2?b2?10，得a2?b2?5． 故a?b?2(a2?b2)?52,等号成立当且仅当a?b?52． 24．设正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是单位正方形，如果二面角A1?BD?C1的

?，则AA1? ． 36答案：．解：取BD的中点O，连接OA, OA1 , OC1．

2?则∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，因此∠A1OC1=,

3又△OA1C1是等边三角形．故A1O= A1C1=2，所以

大小为

226． AA1?AO?AO?(2)?()?1225．已知数列?an?为等差数列，首项与公差均为正数，且a2,a5,a9依次成等比数列，则使得 a1?a2?????ak?100a1的最小正整数k的值是 ．

答案：34．解：设数列?an?的公差为d,则a2?a1?d,a5?a1?4d,a9?a1?8d．因为

2222，即(a1?d)(a1?8d)?(a1?4d)a2,a5,a9依次成等比数列，所以a2a9?a52．化简上式得

到：a1d?8d2．又d?0，所以a1?8d．由

a1?a2???ak?a1a1k?k(k?1)dk(k?1)2?k??100．

a116解得kmin?34．

226．设k为实数，在平面直角坐标系中有两个点集A?(x,y)x?y?2(x?y)和

??B??(x,y)kx?y?k?3?0?，若A?B是单元集，则k的值为 ．

答案：?2?3．解：点集A是圆周?:(x?1)2?(y?1)2?2，点集B是恒过点 P （-1,3）